Hay un nombre para, o notables de la estructura que utiliza, raro "distributiva leyes" como $a\times(b+c)=b\times a+c\times a$?

Question

Considere el siguiente "multiplicación" de más", además de": $$ un \times (b + c) $$ La ley distributiva en la noción común es el de la izquierda distributiva de la ley: $$ un \times (b + c) = a \times b + a \times c $$ Pero ¿qué pasa si?: $$ un \times (b + c) = b \times a + c \veces $$ $$ un \times (b + c) = a \times b + c \veces $$ $$ un \times (b + c) = b \times a + a \times c $$ ¿Hay algún nombre para estos? Yo supongo que son "anti", "exo", y "endo" distributiva, respectivamente.
Hay notables estructura algebraica con cualquiera de estas leyes?

Answer 1

Mi comentario fue un poco mal, y demasiado breve, así que voy a ampliar esto en una respuesta parcial.

Suponga que tiene un conjunto $R$ con las operaciones de $+$ e $\times$ tal que $(R, +)$ es un grupo, y $\times$ izquierda endodistributes más de $+$. Deje $0$ ser la identidad en la $+$.

Fix $a, b \in R$. Entonces $$a \times 0 = a \times (0 + 0) = 0 \times a + a \times 0 \implies 0 \times a = 0.$$ También tenemos $$0 = 0 \times (a + 0) = a \times 0 + 0 \times 0 = a \times 0,$$ y $$a \times b = a \times (b + 0) = b \times a + a \times 0 = b \times a.$$

Por lo tanto, $\times$ es conmutativa, y por lo tanto, distribuye más de $+$.

Se puede hacer lo mismo con el lado izquierdo exodistributivity.

Para la izquierda-antidistributivity, considerar en primer lugar $$0 \times 0 = 0 \times (0 + 0) = 0 \times 0 + 0 \times 0 \implies 0 \times 0 = 0.$$ Siguiente, tenga en cuenta que $$0 \times a = 0 \times (a + 0) = a \times 0 + 0 \times 0 = a \times 0.$$ A continuación, $$(0 + a) \times (0 + a) = (0 + a) \times 0 + (0 + a) \times a = 0 \times 0 + 0 \times a + a \times 0 + a \times a,$$ que, cuando se combina con la anterior identidad, que se simplifica a $0 \times a + 0 \times a = 0$. Pero entonces, $$0 = 0 \times a + 0 \times a = a \times (0 + 0) = a \times 0 = 0 \times a.$$ Por último, de nuevo, esto nos da que $\times$ es conmutativa y distribuye más de $+$, como $$a \times (b + 0) = b \times a + 0 \times a = b \times a.$$

Si bien esto no significa que la izquierda anti/endo/exo-distributividad propiedades son de interés, se refiere a que, con el fin de evitar "trivial" ejemplos (es decir, aquellos donde la $\times$ distribuye), tenemos que sacrificar una buena cantidad de estructura de la aditivo de magma, lo que significa que el resultado no va a ser como el "anillo" como se podría haber esperado.