Evaluar $\int\int\int_{[0,1]^3}\frac{dxdydz}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}$

Question

Como en el título I para evaluar esta integral triple. $$\int\int\int_{[0,1]^3}\frac{dxdydz}{(1+x^2+y^2+z^2)^2}$$ He estado tratando de resolver esto desde hace una semana.

La primera cosa que he hecho fue comprender el significado de la integral. Creo que esta integral representa a la masa (como un ejemplo) de un único cubo que contiene materiales de diferente densidad.

Los valores de los materiales de densidad, punto por punto, a la inversa de los cuadrados de las esferas centradas en el origen, más uno.

El valor máximo de la densidad es $1$ en el origen de el cubo y el min es $\frac{1}{16}$ sobre el vértice opuesto.

Supongo que el valor de la integral es $\frac{\pi^2}{32}$

He intentado utilizar simples sustituciones sin ningún resultado, así que traté de cambiar las coordenadas esférico y cilíndrico de sistemas. Las coordenadas esféricas me da una increíble larga suma de integrales que dudo que todos son integrables como funciones elementales..

La cilíndrico me da la siga resultado

$$\frac{\pi^2}{16}-\int_0^\frac{\sqrt2}{2}{\frac{\arctan{\sqrt{\frac{u^2-1}{u^2-2}}}}{\sqrt{2-u^2}}du}$$

Que yo no soy capaz de resolver.

Mi instinto me dice que hay un truco en algunos pasos donde puedo observar que una difícil integral en realidad es exactamente la mitad de otro más sencillo pero no puedo averiguar dónde.

Voy a apreciar cualquier tipo de sugerencias, si usted piensa que esta cuestión merece un downvote por favor escriba en los comentarios por qué, de esta manera puedo modificar mi pregunta y lo que es más interesante o conveniente.

Answer 1

Ya que para cualquier $a>0$ tenemos $\frac{1}{a^2}=\int_{0}^{+\infty} w e^{-aw}\,dw$, por el teorema de Fubini el original de la integral se puede escribir como

$$ \int_{0}^{+\infty} w e^{-w}\left(\frac{\sqrt{\pi}\,\text{Erf}(\sqrt{w})}{2\sqrt{w}}\right)^3\,dw\stackrel{w\mapsto w^2}{=}\frac{\pi\sqrt{\pi}}{4}\int_{0}^{+\infty}e^{-w^2}\text{Erf}^3(w)\,dw $$ y el lado derecho es claramente $$ \frac{\pi\sqrt{\pi}}{4}\left[\frac{\sqrt{\pi}}{8}\,\text{Erf}^4(w)\right]_{0}^{+\infty} =\color{red}{\frac{\pi^2}{32}}.$$

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Interesante nota al margen: el mismo enfoque en la dimensión $2$ da una relación entre la $\iint_{(0,1)^2}\frac{dx\,dy}{(1+x^2+y^2)^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}$ e $\int_{0}^{+\infty}\left(1-\text{Erf}^3(w)\right)\,dw$.
En particular, se demuestra que $$ \int_{0}^{+\infty}\left(1-\text{Erf}^3(x)\right)\,dx = \frac{6\sqrt{2}}{\pi\sqrt{\pi}}\,\arctan\frac{1}{\sqrt{2}} $$ que no es reconocido por Mathematica (o al menos por mi versión).