Responder a las preguntas de una tabla de caracteres

Question

He estado estudiando un curso sobre Teoría de la Representación, concretamente sobre Tablas de Caracteres. Soy capaz de construir una tabla de caracteres, pero parece que no puedo entender el trabajo hacia atrás con la recepción de la tabla. La pregunta en un examen de papel pasado es:

Consideremos la siguiente tabla de caracteres del grupo finito $G$ .

donde $i\in\mathbb{C}$ con $i^2=1.$

(a) Determinar $|G|$ y $|C_G(g_i)|$ para $i=1,...,6$ .

(b) Demuestre que $G/[G, G]$ es cíclico de orden 4.

(c) Deduzca que $G$ tiene un 3-subgrupo Sylow normal $P$ .

(d) Demuestre que $C_P(g_5)=1$ .

(e) Deduzca que $P$ isomorfo de $C_3\times C_3$ .

Agradecemos cualquier ayuda.

Answer 1

Voy a publicar una respuesta más o menos completa en lugar de dar pistas porque creo que hay algunos errores en la pregunta y por lo tanto sólo dar pistas probablemente llevaría a más confusión.

(a) Sabemos que el producto punto de cada columna por sí misma es $|C_G(g_i)|$ . Así que para $i=1,\dots,6$ tenemos $36,4,9,9,4,4$ . Así que claramente $g_1=e$ y $|G|=36$ . Los tamaños de las clases de conjugación son $|G|/|C_G(g_i)|$ que da $1,9,4,4,9,9$ . Tenga en cuenta que estos se suman a $36$ .

(b) El grupo $G/[G,G]$ se denomina abelianización de $G$ . Es un grupo abeliano con la propiedad especial de que cualquier homomorfismo de $G$ a un grupo abeliano factores a través del mapa cociente $G\to G/[G,G]$ . Dado cualquier $1$ -dim rep $\chi:G/[G,G]\to \mathrm{GL}(V)$ obtenemos un $1$ -dim rep of $G$ componiendo $G\to G/[G,G]\to \mathrm{GL}(V)$ . Es fácil demostrar que distintas repeticiones de $G/[G,G]$ dan distintas repeticiones de $G$ (utilizando el hecho de que el mapa cociente es suryectivo). Por último, si $V$ es $1$ -dim entonces $\mathrm{GL}(V)$ es abeliano, por lo que cualquier $1$ -dim rep of $G$ factores a través de $G/[G,G]$ . Así que el $1$ -dim reps de $G$ surgen únicamente de las repeticiones de $G/[G,G]$ que son todos $1$ -dim porque $G/[G,G]$ es abeliano. Como los grupos abelianos tienen el mismo número de repeticiones que su orden, concluimos que $|G/[G,G]|=4$ y desde el $\chi_3$ y $\chi_4$ reps son complejas deben surgir de $C_4$ y no $C_2\times C_2$ .

Por cierto, sospecho firmemente que la tabla está mal y $\chi_4(g_5)=-i$ . Incluso así, las dos últimas columnas no me parecen ortogonales.

(c) Puesto que $|G/[G,G]|=4$ tenemos $|[G,G]|=9$ . Sea $P=[G,G]$ . La definición de un subgrupo Sylow es simplemente uno cuyo orden es la mayor potencia de algún primo que divide el orden del grupo, por lo que este es un Sylow $3$ -grupo. El subgrupo conmutador es siempre normal, que es como podríamos cociente por ella en la parte (b).

(d) Antes había supuesto que $C_G(-)$ significaba "centralizador", sino el centralizador de $g_5$ en $P$ no puede ser $1$ porque en la parte (e) vamos a ver que $P$ es abeliano por lo que en $P$ todo estará en el centrailzer de todo lo demás. De hecho $g_5$ ni siquiera está en $P$ . El mapa $G\to G/[G,G]$ envía todo en $P$ a $e$ por lo que, según lo que dijimos en la parte (b), todo en $P$ debe tener carácter $1$ para cada uno de los $1$ -reps. Esto significa que cada elemento de $P$ debe estar en la clase de conjugación de $g_1$ , $g_3$ o $g_4$ . De (a) estas clases de conjugación sólo tienen $9$ elementos entre ellos, por lo que $P$ se forma precisamente a partir de todos los elementos de estas clases de conjugación.

Añadido: AlexProvost sugiere $C_P(g_5)$ significa $C_G(g_5)\cap P$ en cuyo caso es obvio que la intersección de estos dos grupos debe ser $\{e\}$ ya que el orden de cualquier elemento en su intersección debe ser un factor de ambos $4$ y $9$ .

(e) Puesto que $P$ tiene orden $9$ debe ser $C_9$ o $C_3\times C_3$ . Por restricción de las reps $\chi_1$ , $\chi_5$ y $\chi_6$ conocemos a algunos personajes.

$$\begin{matrix} &g_1&g_2&g_3&g_4&g_5&g_6&g_7&g_8&g_9\\ \hline \chi_1'&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\ \chi_5'&4&1&1&1&1&-2&-2&-2&-2\\ \chi_6'&4&-2&-2&-2&-2&1&1&1&1\\ \end{matrix}$$ Estos tienen productos internos $<\chi_1,\chi_5>=<\chi_1,\chi_6>=<\chi_5,\chi_6>=0$ , $<\chi_5,\chi_5>=4$ y $<\chi_6,\chi_6>=4$ . Así, cada uno de $\chi_5$ y $\chi_6$ debe ser la suma de $4$ repeticiones distintas, sin solaparse entre sí ni con la repetición trivial. El grupo $C_9$ tiene tabla de caracteres

$$\begin{matrix} &g_1&g_2'&g_3'&g_4'&g_5'&g_6'&g_7'&g_8'&g_9'\\ \hline \chi_1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\ \chi_2&1&\omega&\omega^2&\omega^3&\omega^4&\omega^5&\omega^6&\omega^7&\omega^8\\ \dots&&&&&\dots&&&&\end{matrix}$$

donde $\omega^9=1$ y el resto de las filas también están formadas por potencias de $\omega$ . Sospecho que no es muy difícil demostrar que $-2$ no puede escribirse como la suma de cuatro potencias distintas de $\omega$ y, por tanto $P$ no es $C_9$ . Si no puedes hacer que esa estrategia funcione, sospecho que la técnica de prueba más fácil seguirá siendo "demostrar ". $P\neq C_9$ "en lugar de "demostrar $P=C_3\times C_3$ ".

Añadido: Bien, podemos resolver (e) con (d). Dado que $g_5$ sólo conmuta con la identidad en $P$ el automorfismo $\alpha:p\mapsto g_5pg_5^{-1}$ de $P$ fija sólo la identidad (fija $P$ desde $P$ es normal). Utilizando exactamente la misma lógica se puede decir lo mismo de $g_2$ . Desde $\chi_3$ es $1$ -dim tenemos $\chi_3(g_5^2)=\chi_3(g_5)^2=-1$ así que $g_5^2$ debe estar en la misma clase de conjugación que $g_2$ . Así que no sólo $\alpha$ no tiene puntos fijos no triviales, ni tampoco $\alpha^2$ . Desde $\chi_3(g_5)=i$ la imagen de $g_5$ en $G/[G,G]$ tiene orden $4$ . Además, el orden de $g_5$ debe dividirse en $4$ ya que es miembro de su propio centralizador, que tiene orden $4$ . Así que $g_5$ tiene exactamente el orden $4$ y, por tanto, también $\alpha$ . Pero el grupo de automorfismo de $C_9$ se puede comprobar fácilmente que es $C_6$ que no tiene automorfismos de orden $4$ . Así que $P$ debe ser $C_3\times C_3$ en su lugar.