Continua en la unidad de la bola – impar en la unidad de la esfera – ¿tiene un punto fijo?

Question

Para $n\in\mathbb N$, vamos \begin{align*} B^n\equiv&\;\{\mathbf x\in\mathbb R^n\,|\,\lVert \mathbf x\rVert\leq 1\}\text{ and}\\ S^{n-1}\equiv&\;\{\mathbf x\in\mathbb R^n\,|\,\lVert \mathbf x\rVert= 1\} \end{align*} indicar la unidad de la bola y la unidad de la esfera, respectivamente, donde $\lVert\cdot\rVert$ es el estándar de la norma Euclídea.

Supongamos que $F:B^n\to\mathbb R^n$ es una función continua satisfacción de $F(-\mathbf x)=-F(\mathbf x)$ por cada $\mathbf x\in S^{n-1}$. Que es, $F|_{S^{n-1}}$ es una función impar.

 Demanda: La función de $F$ tiene un punto fijo, es decir, algunos $\mathbf x^*\in B^n$ satisfacción $F(\mathbf x^*)=\mathbf x^*$.

(El caso de $n=1$ es una consecuencia inmediata de la intermedia-teorema del valor.)

(Revelación: he pasado la mitad de esta tarde tratando de construir un contraejemplo para $n=2$, en vano.)

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Nota: La función de $F$ no necesariamente mapa en $B^n$, por lo Brouwer del punto fijo teorema no se aplica directamente. Dicho esto, en la definición de la función de proyección de $\mathsf p:\mathbb R^n\to B^n$como \begin{align*} \mathsf p(\mathbf x)\equiv\frac{1}{\max\{\lVert\mathbf x\rVert,1\}}\mathbf x\quad\text{for each %#%#%}, \end{align*} la función de composición $\mathbf x\in\mathbb R^n$ está garantizado para tener un punto fijo. Sin embargo, es claro para mí si, y cómo esta observación ayuda a probar que $\mathsf p\circ F:B^n\to B^n$ tiene un punto fijo. (Me gustaría evitar el uso de la Borsuk–Ulam teorema de carga pesada y algebraico-topología de argumentos, si es posible. Brouwer el nivel es tan alto como me gustaría preferiblemente llegar.)

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Esperemos que otro usuario tenga una idea acerca de cómo hacer esto sin un poco de topología algebraica maquinaria, pero aquí es una solución inicial.

Usted está en lo correcto que $F$ debe tener un punto fijo. La prueba por contradicción:

$F$ está definida en el conjunto compacto $B^n$, por lo que la imagen es compacto. Así, tanto la $B^n$ e $F(B^n)$ están contenidas en una esfera $S$ (de dimensión $n-1$) de gran radio, con centro en el origen.

Supongamos $F$ no tiene ningún punto fijo. Entonces (usando el mismo truco en la prueba de la Brouwer f.p. teorema) para cada una de las $x\in B^n$, no hay un único rayo de $x$ a $F(x)$, golpeando $S$ en un único punto, y este punto varía continuamente con $x$. Así se construye un mapa continuo $\Phi: B^n\rightarrow S$.

La condición de que si $x\in S^{n-1}$ entonces $F(-x) = -F(x)$ significa que el rayo de $x$ a $F(x)$ niega el rayo de $-x$ a $F(-x)$, por lo que sus intersecciones con $S$ son antípodas. Esto significa que la restricción de $\Phi$ para el límite de $S^{n-1}$ envía antípodas a las antípodas.

Por lo tanto si $i:S^{n-1}\hookrightarrow B^n$ es la inclusión, el compuesto mapa $$S^{n-1}\xrightarrow{i} B^n\xrightarrow{\Phi} S$$ envía antípodas a las antípodas.

Por un teorema de Borsuk (que se supone que es equivalente a la Borsuk-Ulam teorema, aunque me temo que no sé por qué), un mapa de la esfera a la esfera que conserva antípodas debe tener impar grado. En particular, el grado de $\Phi\circ i$ no es cero. Así que la inducida por el mapa en la homología

$$H_{n-1}(S^{n-1})\xrightarrow{i_\star} H_{n-1}(B^n) \xrightarrow{\Phi_\star} H_{n-1}(S)$$

no es cero. Pero esto contradice el hecho de que $H_{n-1}(B^n) = 0$ (desde $B^n$ es contráctiles).