Homomorfismo entre módulos derecho e izquierdo

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo. $R$ y sus sumas directas $R^n$ son módulo derecho o izquierdo sobre $R$ sí mismo de la manera más obvia.

Quiero demostrar que

$$ R_R^n\simeq R_R^m\Rightarrow n=m $$ se mantiene si y sólo si $$ _RR^n\simeq\ _RR^m\Rightarrow n=m\;\;\;. $$ La primera idea que se me ocurrió fue mostrar que $R_R^n\simeq\ _RR^n$ . De esto se desprende fácilmente la conclusión.

El problema es: ¿tiene sentido considerar un homomorfismo entre módulo derecho/izquierdo? ¿Cómo puedo definirlo?

Supongo que un morfismo genérico de este tipo sería de la forma $\varphi:M_R\to\ _RN$ y debería satisfacer $\varphi(m+m')=\varphi(m)+\varphi(m')\;\;\varphi(m\cdot r)=r\cdot\varphi(m)$ .

Entonces, si considero $\varphi:R_R^n\to\ _RR^n\;,\;(r_1,\dots,r_n)\mapsto (r_1,\dots,r_n)$ ... se trata de una biyección pero no de un "homomorfismo de módulo de derecha a izquierda".

¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Aunque no se me ocurre una forma sensata de definir generalmente un morfismo $M_R \to {}_R N$ Aquí tiene una pista que le ayudará a probar la reclamación que le interesaba en un principio.

Nótese que los homomorfismos de módulo $R_R^n \to R_R^m$ corresponden a $m \times n$ matrices con entradas en $R$ si vemos los módulos como vectores columna. Del mismo modo, los homomorfismos de módulo ${}_R R^n \to {}_R R^m$ corresponden a $m \times n$ matrices sobre $R$ esta vez viendo los módulos como espacios de vectores de fila. En cada caso, la composición de homomorfismos se corresponde con la multiplicación de matrices, aunque quizás en orden inverso.

Pero las matrices y su multiplicación pueden considerarse independientes de si actúan sobre módulos derechos de vectores fila o módulos izquierdos de vectores columna.

(Si necesitas más ayuda, la palabra clave a buscar sería "número de base invariante").