La prueba de detalles de Teorema 11.1 en Atiyah-Macdonald

Question

Tengo algunos problemas para llenar los detalles de esta prueba de Atiyah-Macdonald. En este resultado, los autores asumen lo que sigue:

1) $A = \oplus_{n=0}^\infty A_n$ es un Noetherian gradual anillo, y por lo tanto $A_0$ es Noetherian y $A$ es un finitely generadas $A_0$-álgebra generada por $x_1, \ldots, x_s$ de grados $k_1, \ldots, k_s$ respectivamente.

2) $M = \oplus_{n=0}^\infty M_n$ es un finitely generadas $A$-módulo, de modo que, en particular, $M$ es Noetherian y $M_n$ son finitely generadas $A_0$-módulos.

3) $\lambda$ es un aditivo función (por lo $\lambda(M) = \lambda(N) + \lambda(M/N)$$N \subset M$) de finitely generadas $A_0$-a los módulos de los enteros positivos.

4) por último,$P(M,t) = \sum_{n=0}^\infty \lambda(M_n)t^n$.

Si $K_n, L_n$ son como en la prueba, entonces entiendo que $K = \oplus_n K_n$ $L = \oplus_n L_n$ es el kernel y cokernel, respectivamente, de la homomorphism inducida por la multiplicación por $x_s$. Si $x_s$ tiene el grado $k_s$, entonces eso significaría $L = \oplus_n \dfrac{M_n}{x_sM_{n-k_s}}$ donde$M_{n-k_s} = \{0\}$$n < k_s$, por lo que la primera $k_s$ factores en la suma son, simplemente,$M_i$. En particular, a continuación, $$P(L,t) = \sum_{n=0}^{k_s-1} \lambda(M_n)t^n + \sum_{n= k_s}^\infty \lambda(L_n)t^n.$$

Después de que los autores establecer las ecuaciones $$\lambda(L_{n+k_s}) - \lambda(K_n) = \lambda(M_{n+k_s}) - \lambda(M_n) = 0$$ they multiply each such equation by $t^{n+k_s}$ and then sum over all $n$, which gives $$\sum_{n=0}^\infty \lambda(L_{n+k_s})t^{n+k_s} - t^{k_s}P(K,t) = \sum_{n=0}^\infty \lambda(M_{n+k_s})t^{n+k_s} - t^{k_s}P(M,t).$$ But now adding to both sides $\sum_{n=0}^{k_s-1} \lambda(M_n)t^n$ would make me obtain $$P(L,t) - t^{k_s}P(K,t) = (1-t^{k_s})P(M,t)$$ which is not correct since the authors obtain a difference of a polynomial $g(t)$. I can't seem to find my mistake. What exactly is $g(t)$ en la ecuación?

Además, tengo otra pregunta corta, la cual está relacionada, sobre la proposición de 11,3 en el mismo libro. $d(M)$ denota aquí la pole en $t=1$$P(M,t)$.

La ecuación (2) se convierte en $(1-t^{k_s})P(M,t) = P(L,t) + g(t)$. Entonces veo que el polo de la $P(L,t) + g(t)$ es de grado uno menos que el grado del polo de $P(M,t)$, pero ¿cómo llega uno a la conclusión de $d(L) = d(M) - 1$ en este caso?