La diferenciabilidad de la función $f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & \text{if $(x,y)\ne(0,0)$}\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

Question

Considere la función $f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & \text{if %#%#%}\\ 0, & \text{otherwise} \end{casos}$

Pregunta: Es diferenciable en todas partes? ¿Tiene derivadas parciales en todas partes?

Mi intento:

$(x,y)\ne(0,0)$ es diferenciable en a $f$ porque es el cociente entre dos funciones diferenciables y el denominador no se anula. Es todavía el caso en $\Bbb R^2\backslash\{(0,0)\}$?

Si escribimos $(0,0)$$x=r\cos\theta$, entonces la función se convierte en

$\begin{cases} \frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2} & \text{if } r\ne0 & \\ 0 &\text{if } r=0 \end{casos}$ = $\begin{cases} \cos\theta\sin\theta & \end{casos}$

Nos damos cuenta de que $y=r\sin\theta$ no depende de la radio, por lo que el hecho de que $f$, por lo que podemos acercarnos a cero por la disminución de la radio y la preservación de los valores de $f(1,1)=1/2\ne-1/2=f(-1,1)$ y una mano y $1/2$ sobre el otro. Así que la función es discontinua en cero, por lo que no diferenciable.

¿Tiene derivadas parciales en todas partes?

$-1/2$$ $$\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h\to\ 0}\frac{f(h,0)}{h}=0$$ Así que las derivadas parciales existen en cero y en otros lugares.

Answer 1

Sí, tiene usted derecho a que la función no es continua y, a continuación, no es diferenciable en a $(x,y)=(0,0)$, ya que la diferenciabilidad $\implies$ continuidad.

Observaciones:

• como una alternativa más simple, para mostrar que $f(x,y)$ no es continua en el origen, es suficiente con considerar los caminos con $x=0$$x=y$.
• la existencia de la derivada parcial no es suficiente para garantizar la diferenciabilidad de hecho para eso necesitamos también que al menos una derivada parcial es también continua en ese punto.