La superficie de cada integreal cero, entonces la divergencia de la función es cero

Question

Necesito ayuda con este problema:

Deje $D \subseteq \mathbb{R}^3$ ser abierto y conectado región y $\vec{F} \in C^1(D,\mathbb{R}^3)$ un vector de valores de la función en $D$. Demostrar que si

$$\int_S \vec{F}\cdot d\vec{S} = 0$$

para cada superficie esférica $S$$D$$\mbox{div} \vec{F} = 0$.

Ahora, utilizando el Stoke, que sería el equivalente a demostrar que

$$\iiint_B \mbox{div}\vec{F} = 0$$

donde $\partial{B} = S$ (el límite de la esfera de $B$$S$), pero estoy totalmente de stock con este problema.

Answer 1

Estamos dado que el $\vec F$ es continuamente diferenciable, es decir, $\vec F \in C^1(D, \Bbb R^3)$.

Luego, si no existe $p \in D$ con

$\nabla \cdot \vec F(p) \ne 0, \tag 1$

debemos tener bien

$\nabla \cdot \vec F(p) > 0 \tag 2$

o

$\nabla \cdot \vec F(p) < 0; \tag 3$

si (2) se une, se sigue de la continuidad de $\nabla \cdot \vec F$ que existe alguna $\epsilon > 0$ tal que

$\nabla \cdot \vec F(x) > 0 \tag 4$

para

$x \in B(p, \epsilon) = \{x \in D \mid \Vert x - p \Vert < \epsilon \}; \tag 5$

entonces

$\displaystyle \int_{B(p, \epsilon)} \nabla \cdot \vec F(x) \; dV > 0; \tag 6$

por el teorema de la divergencia (6) implica

$\displaystyle \int_{\partial B(p, \epsilon)} \vec F \cdot d \vec S > 0, \tag 7$

lo que se contradice con el dado hipótesis. Por lo tanto podemos descartar (2); del mismo modo, si (3) se mantiene, podemos por un argumento similar a la conclusión de que

$\displaystyle \int_{\partial B(p, \epsilon)} \vec F \cdot d \vec S < 0, \tag 8$

lo cual también contradice la suposición de que

$\displaystyle \int_{\partial B(p, \epsilon)} \vec F \cdot d \vec S = 0; \tag 9$

por lo tanto debemos tener

$\nabla \cdot \vec F(p) = 0 \tag{10}$

para todos los $p \in D$.