¿Existe un nombre para una matriz cuyas filas (o columnas) son vectores ortogonales no nulos?
Me parece que "matriz ortogonal" sería un buen nombre, pero este ya está tomado - se refiere a una matriz cuyas filas (o columnas) forman un conjunto de vectores ortonormales.
Una matriz ortogonal se refiere a una matriz cuyas filas y columnas son ortonomales. Esta es una propiedad clave de las matrices ortogonales, la cual finalmente requiere que estas matrices sean cuadradas.
Supongamos que $A$ es una matriz rectangular ($n > m$) con vectores fila y columna que son [a] no nulos y [b] ortogonales entre sí. Sabemos que,
Entonces, (1) y (2) juntos sugieren que $\textrm{rango}(A') = \textrm{rango}(A)$, o $m = n$. Pero esto es una contradicción.
Restringir las filas o columnas para que sean ortogonales y no nulas es un tipo de partida. Una matriz semi-ortogonal $B$ es una matriz no cuadrada con entradas reales que tiene la propiedad de que ya sea (1) $BB' = I_m$ o (2) $B'B = I_n$, con el caso verdadero respectivo representando una base ortonormal.
El caso del que hablas, una matriz cuyas filas o columnas son ortogonales (no ortonomales), podría describirse como una matriz semi-ortogonal bajo una transformación de escala.
Geométricamente, dos filas no ortogonales significan una transformación de cizallamiento, ¿verdad? Si esto es correcto (y estoy seguro de que alguien me lo hará saber si me equivoco), entonces podrías llamarles matrices libres de cizallamiento. Actualizado para agregar: Alguien me hizo saber que estaba equivocado, como se predijo...
Pero un cizallamiento puro conserva el volumen, por lo que esto podría ser engañoso. ¿Qué tal si las matrices son ortogonales por filas?
No, la ortogonalidad de las filas no tiene relación con el cizallamiento. Escalar el primer vector por $2$ tiene filas ortogonales, luego componer con una rotación de $45^\circ$ produce filas no ortogonales $\sqrt2({1\atop1}~{0.5\atop-0.5})$, pero esto no es de ninguna manera una transformación de cizallamiento.
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Ninguno que yo pueda pensar. ¿Qué tal una matriz ortogonal escalada? Acabo de inventarlo.
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Es una gran lástima que el nombre "matriz ortogonal" ya esté tomado. Estos tipos de matrices son bastante comunes en mi negocio (modelado geométrico). Corresponden a operaciones de escalado no uniforme. Tal vez tenga que llamarlos "matrices de escalado no uniforme" si el mundo de las matemáticas no puede ofrecer algo mejor.
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Probablemente reservaría ese nombre para las matrices diagonales utilizadas en la transformación de coordenadas para el escalado con coeficientes de escalado desiguales en las direcciones de coordenadas, pero eso soy yo.
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¿Pseudortogonal?
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Entonces, dado que el vector 0 es ortogonal a todo, ¿algunas de las columnas podrían ser 0? ... ¿qué tiene de malo decir "matriz con columnas ortogonales"?
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Quizás "matriz-ortogonal de columnas" y "matriz-ortogonal de filas", o simplemente "matriz ortocolumna" y "matriz ortofila", para que se puedan distinguir los casos con columnas ortogonales de los casos con filas ortogonales.
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Relacionado.
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Esta pregunta ha sido realizada varias veces. El término "matriz ortogonal" para $A\in M_n(\mathbb{R})$ tal que $A^TA=(AA^T)=I_n$ es un poco desafortunado, aunque muy extendido. Unitario es menos ambiguo y funciona en el caso real, al igual que en el caso complejo. Entonces podrías llamar ortogonal a una matriz cuyas columnas son ortogonales. Pero es demasiado tarde para cambiar los hábitos.