comprensión de Steenrod plazas

Question

Hay una función en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-cohomology llamado Steenrod cuadrado: $Sq^i:H^k(X,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \H^{k+i}(X,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$. (Coeficiente de grupo suprimido de aquí en adelante.) Su notable axioma (además de cosas como connaturalidad), y la razón de su nombre, es que si $a\in H^k(X)$, entonces $Sq^k(a)=a \cup \H^{2k}(X)$ (esta es la copa del producto). Un muy interesante aplicación con la que me he topado es que, para un vector paquete de $E$, el $i^{th}$ Stiefel-Whitney clase está dada por $w_i(E)=\phi^{-1} \circ Sq^i \circ \phi(1)$, donde $\phi$ es la Thom isomorfismo.

No he encontrado mucho más que una caracterización axiomática de estos cuadrar los mapas, y estoy teniendo problemas para conseguir un control real sobre lo que están haciendo. Me han dicho que $Sq^1$ corresponde a la "Bockstein homomorphism" de la secuencia exacta $0 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0$. Explícitamente, si denotamos por $C$ el grupo de cadenas de espacio $X$, aplicamos la exacta functor covariante $Hom(C,-)$ a esta breve secuencia exacta, tomar cohomology, entonces la conexión homomorphisms $H^i(X)\H^i(X)$ son exactamente $Sq^1$. Esto es bueno, pero sigue siendo algo misterioso para mí. ¿Alguien tiene alguna idea buena o referencias de cómo pensar acerca de estos mapas?

Answer 1

He aquí una manera de entenderlos. El exterior de la copa de la plaza $a \otimes \H^{2n}(X \times X)$ de $a \in H^n(X)$ induce un mapa de $f:X \times X \K(Z_2, 2n)$. Se puede mostrar que este mapa de factores a través de un mapa de $g:(X \X veces) \times_{Z_2} EZ_2 \K(2n)$, donde $Z_2$ actúa sobre el producto por permuting los factores y $EZ_2$ puede ser tomado a sólo $S^\infty$. Si usted desentrañar lo que esto significa, que dice que nuestra mapa original de $f$ era homotópica a la mapa obtenido por primera conmutación de las coordenadas y, a continuación, la aplicación de $f$. También se dice que este homotopy, cuando se aplica dos veces para obtener un homotopy de $f$ a sí mismo, es homotópica a la identidad homotopy, y nosotros, igualmente, toda una serie mayor "coherencia" homotopies. Ahora $X \times BZ_2$ asigna a $(X \X veces) \times_{Z_2} EZ_2$ como la diagonal, por lo que obtener un mapa $X \times BZ2 \K(2n)$. Pero $BZ_2$'s cohomology es de solo $Z_2[t]$, así que esto le da un cohomology de la clase $Sq(a) \in H^*(X)[t]$ grado $2n$. Si escribimos $Sq(a)=\sum s(i) t^i$, se puede demostrar que $s(i)=Sq^{n-i}$.

¿Qué significa esto? Así, si nuestro mapa de $f$ en realidad fue invariantes bajo la conmutación de los factores (que se podría pensar que debería ser, dado que parece ser definido de forma simétrica en los dos factores), podríamos tomar $g$ a ser la proyección en $X \times X$ seguida de $f$. Esto significaría que $Sq(una)$ provienen de la proyección de distancia de la $BZ_2$ y, a continuación, utilizando $a^2$, es decir $Sq^n(a)=a^2$ y $Sq^i(a)=0$ para todos los otros $i$. Así, el nonvanishing de la parte inferior de Steenrod cuadrados de alguna manera mide la copa del producto, mientras que homotopyconmutativa (en términos de la inducida por los mapas de Eilenberg-MacLane espacios), no puede ser enderezado a ser realmente conmutativa. De hecho, en el ejemplo universal de $X=K(Z_2,n)$, el mapa de $f$ es exactamente el universal mapa representativo de la copa del producto de dos cohomology clases de grado $n$.

Algunos un poco breves notas sobre esto se puede encontrar aquí; ver en particular de la parte III.

Answer 2

He aquí cómo puedo explicar Steenrod plazas para los geómetras. En primer lugar, si $X$ es una variedad de dimensión $d$, a continuación, se puede producir clases en $H^n(X)$ adecuada de los mapas de $f: V \a X$ donde $V$ es una variedad de dimensión $d-$ n, a través de múltiples formalismos - por ejemplo. intersección de la teoría (el valor en una transversal de la $i$-ciclo es el número de puntos de intersección), o el uso de la clase fundamental en localmente finito de homología y la dualidad, o Thom clases, o como el pushforward $f_*(1)$, donde $1$ es la unidad de la clase en $H^0(V)$. Tomando este último enfoque, supongamos que $f$ es una inmersión y por lo tanto tiene normalmente un paquete de $\nu$. Si $x = f_*(1) \in H^n(X)$, entonces $Sq^i(x) = f_*(w_i(\nu))$. Este es esencialmente el Wu fórmula.

Es decir, si cohomology clases están representadas por submanifolds, y por ejemplo la copa del producto refleja la intersección de los datos, a continuación, Steenrod plazas recordar normal de paquete de datos.

Answer 3

Usted puede entender las plazas puramente algebraica: vamos a $R = F_2[x_1, x_2, \ldots, x_n]$ ser un polinomio de anillo sobre el campo $F_2$ de $2 dólares de los elementos. Un anillo homomorphism de$f$en$R$es completamente determinado por los valores de$f(x_i)$, y esos valores no son restringidas, ¿verdad? Para definir$f \colon R \R$por$f(x) = x + x^2$por cada$x = x_i$. (Desde$\operatorname{char}(F)=2$, en realidad tenemos$f(x) = x + x^2$por cada$F$-combinación lineal de los$x_i$, demasiado, es decir, esta es una base libre -- "caballerosidad"? -- definición). Entonces para cualquier homogénea polinomio$p$en$R$, tenemos$f(p) = p + p^2 + \text{otras cosas}$; la separación de los componentes de$f(p)$por grado, se puede escribir$f(p) = \sum Sq^i ( p )$. E. g.$f(x_1, x_2) = (x_1 + x_1^2) \cdot (x_2 + x_2^2) = (x_1, x_2) + (x_1^2 x_1 + x_2^2 x_1) + (x_1, x_2)^2$, entonces$Sq^1( x_1, x_2 ) = x_1, x_2 (x_1 + x_2)$.

Puede ampliar la definición de los $Sq^i$ a no homogéneos de polinomios por aditividad si te gusta. Esta definición de la $Sq^i$ es constante para polinomios arbitrarios número de variables (es decir, no son conmutativas diagramas que implican las inclusiones $F_2[x_1] \a F_2[x_1,x_2]$ etc.) Así que usted puede visualizar toda álgebra de Steenrod como un álgebra de endomorphisms en un infinito polinomio anillo.

Esta definición es suficiente para comprobar el Adem relaciones.

Topológicamente, este mecanismo define $Sq^i$ en $H^\ast( (\mathbb{RP}^\infty)^n, Z/2Z)$. Entonces por connaturalidad define los $Sq^i$ en cohomology de las clases que se pullbacks de los anillos, es decir, usted tiene una descripción de cómo $Sq^i$ actúa sobre cohomology de clases definidas por el vector paquetes. Esto realmente es lo que yo pienso de ellos cuando yo juego con la clasificación de espacios $BG$.

Answer 4

El Steenrod plaza es un ejemplo de un cohomology de la operación. Cohomology operaciones son naturales de las transformaciones de la cohomology functor a sí mismo. Hay un par de diferentes tipos, pero la más general es un inestable cohomology de la operación. Esto es simplemente una transformación natural de $E^k ( -)$ $E^l(-)$ para algunos fijos $k$ y $l$. Aquí, uno se refiere a la gradual cohomology functors como una familia de establecer valores de functors por lo tanto las funciones inducidas por estos inestable operaciones no necesariamente respeto a cualquiera de la estructura de la $E^k(X)$.

Algunos, sin embargo. En particular, hay aditivo cohomology de operaciones. Estos son inestables operaciones que se homomorphisms de abelian grupos.

En particular, para cualquier multiplicativo cohomology de la teoría (en particular, ordinario cohomology u ordinaria cohomology con $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ coeficientes) hay el poder de las operaciones: $x \x^k$. Estos son aditivos si el coeficiente de anillo tiene el derecho característica. En particular, el cuadrado es aditivo en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ cohomology.

Dado un inestable cohomology operación $r: E^k(-) \a E^l(-)$ hay una manera para la fabricación de una nueva operación de $\Omega r: \tilde{E}^{k-1} \\tilde{E}^{l-1}(-)$ mediante la suspensión de isomorfismo (donde la tilde indica que estos son de grupos reducidos):

$E^{k-1}(X) \cong E^k(\Sigma X) \a E^l(\Sigma X) \cong E^{l-1}(X)$

Este es muy sencillo y es una manera barata de producir más operaciones. Cuando se aplica a las operaciones de energía se produce casi nada ya que la estructura de anillo en el cohomology de una suspensión es trivial: aparte de la inclusión del coeficiente de anillo todos los productos son iguales a cero.

¿Qué es una pregunta interesante es si o no este bucle puede ser revertido. Es decir, si $r$ es un funcionamiento inestable, cuando hay otra operación $s$ tal que $\Omega s = r$? Y ¿cuántos de esos hay? La más interesante es la pregunta de cuando hay una infinita cadena de operaciones, $(r_k)$ tal que $\Omega r_k = r_{k-1}$. Cuando esto sucede, decimos que $r$ proviene de una estable de operación (hay una ligera ambigüedad aquí el momento en el que la secuencia de $(r_k)$ es una operación estable o simplemente viene de una operación estable).

Una condición necesaria es que $r$ ser aditivos. Esto no es, en general, suficiente. Por ejemplo, Adams operaciones en $K$-teoría son aditivos, pero todos pero los dos no son estables.

Sin embargo, para el común de cohomology con coeficientes en un campo, el aditivo es suficiente para que una operación de venir de una operación estable. Por otra parte, hay una secuencia única para cada aditivo operación. Esto significa que la cuadratura de operación en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ cohomology tiene una secuencia de "superior" a las operaciones de bucle hacia abajo para ajustar. Estos son los Steenrod plazas.

La secuencia se detiene con la actual cuadratura (más bien, se convierte en cero después de ese punto) porque, como se comentó anteriormente, el poder de las operaciones de bucle a cero.

Una característica importante de estas operaciones es que se dan las condiciones necesarias para un espectro a la suspensión del espectro de un espacio. Si el espectro es una suspensión de espectro, entonces es de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-cohomology debe ser un anillo. Eso no es suficiente, sin embargo, también debe tener la propiedad de que, en el derecho de las dimensiones, la Steenrod operaciones de ley por el cuadrado. (Por supuesto, esto es necesario pero no suficiente).

Answer 5

Para las plazas de Steenrod, recomiendo los dos primeros capítulos del libro "operaciones de cohomología y aplicaciones en teoría de la homotopía" por Mosher y Tangora. Está maravillosamente escrito (y ahora disponible en una edición barata de Dover).