Definir $f(x)=1+\dfrac{1}{x}$ en el intervalo $[0,+)$ . ¿Cómo puedes encontrar el extremo absoluto de la función en este intervalo?
Mi primer paso fue tomar la primera derivada, que me dio $-\dfrac{1}{x^2}$ . Lo puse igual a $0$ y no ha encontrado ningún valor de x que lo satisfaga.
Ahora sólo quedan los puntos finales. Sé que $\lim_{x\to0^+}f(x)=$ ¿pero cuenta? También, $\lim_{x\to}f(x)=1$ pero, de nuevo, ¿cuenta?
Los extremos absolutos en un intervalo $I$ si existe, es el número $M\in\mathbb R$ que satisface $\forall x\in I,\,f(x)\le M$ y $\exists x_0\in I,\,f(x_0)=M$ (en otras palabras $M=\max\{f(x)\,\mid\,x\in I\}$ ).
En su caso $I=(0,\,+\infty)$ (la función no está definida en $0$ ). Tenemos $\forall x\in I,\,f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ . Por tanto, la función es decreciente. ¿No significa esto que el extremo es el mínimo de $I$ ? Pero $I$ no tiene mínimos por lo que la función no puede tener un extremo.
También puede mostrar, mediante $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$ que $f$ no tiene supremacía en $I$ .
Un mapa $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se dice que tiene un extremo en un punto $a \in \mathbb{R}$ si hay alguna bola abierta $V^{a}$ del centro $a$ de manera que $f(a) \geq f(x)$ para todos $x \in V^{a}$ o $f(a) \leq f(x)$ para todos $x \in V^{a}$ . Además, se puede demostrar que $a$ es un extremo de $f$ sólo si $f'(a) = 0$ .
El mapa $f: x \mapsto 1/x$ lleva $]0, \infty[$ a $\mathbb{R}$ y no se define en $x=0$ . Como habrán notado, no hay $x > 0$ tal que $f'(x) = -1/x^{2} = 0$ Por lo tanto $f$ no tiene ningún extremo.
Un problema relacionado con los extremos absolutos es rodear los puntos críticos y los puntos finales (intervalo final de la función). Si no puedes encontrar los puntos críticos, entonces simplemente comprueba desde ambos puntos finales.
Pero al igual que John mencionó, el intervalo de la función no permite obtener un único punto exacto por lo que no hay máximo o mínimo absoluto aquí y como los puntos críticos tampoco están disponibles.
De hecho, esta función ni siquiera tiene un único extremo relativo, ya que la gráfica simplemente comienza en un infinitesimal cercano a la unidad y sube hasta el infinito, y recuerda que el infinito NO es un número, es un CONCEPTO.
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