Encontrando el rango de $\cos t\sqrt{2-\cos^2 3t}$ a través de métodos "elementales" (es decir, pre-cálculo)

Question

Me preguntaba, cuál sería una solución a nivel de precálculo a la siguiente pregunta:

¿Cuál es el rango de la función $x(t)=\cos t\sqrt{2-\cos^2 3t} \ $, para $\ t\in[0,2\pi)$ ?

Por favor, ten en cuenta que estoy enfatizando "nivel de precálculo". Sé muy bien cómo hacer esto usando los criterios habituales de primera y segunda derivada para puntos estacionarios de una función de variable real. Sin embargo, mi principal motivación para la pregunta es mi intento de explicarlo a estudiantes de nivel de precálculo. (Su exposición al cálculo se limita a las nociones de límites, continuidad y el teorema del valor intermedio para funciones continuas. Hasta ahora, no ha habido derivadas en el panorama.)

¡Gracias de antemano!

P.D.: Nota, que el problema correspondiente parecería mucho más fácil para la función $\sin t\sqrt{2-\cos^2 3t}$, $t\in[0,2\pi)$: el rango se puede encontrar fácilmente como $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ apelando al teorema del valor intermedio para funciones continuas y teniendo en cuenta que los factores $\sin t$ y $\sqrt{2-\cos^2 3t}$ adquieren sus valores extremos para el mismo valor del parámetro $t$. Sin embargo, este no es el caso para $\cos t\sqrt{2-\cos^2 3t}.

Answer 1

No tengo una solución pero un enfoque posible.

Si se puede explotar la simetría, debería ser posible maximizar $x(t)$ simplemente maximizando $x(t)^2$.

A través del cambio de variables $\gamma=\cos^2t$, debería ser posible mostrar que

$$x(t)^2=\frac13\gamma(1-\gamma)(4\gamma-1).$$

Si se puede demostrar sin cálculo que el máximo de esto ocurre en $\displaystyle\gamma_0=\frac{7+\sqrt{33}}{6}$,

entonces creo que se puede trabajar hacia atrás para mostrar que $x(t)^2$ y por lo tanto $x(t)$ se maximizan en

$$t_0=\cos^{-1}\left(\sqrt{\gamma_0}\right).$$