Expandir en la serie de Taylor$\frac{1}{1-\sin{x}}$

Question

Expandir en la serie de Taylor$\frac{1}{1-\sin{x}}$

Tengo una idea que$\frac{1}{1-\sin{x}} = 1 + \sin {x} + \sin^2 {x} + \sin^3 {x} + \dots$

Pero no sé qué hacer a continuación. Cada seno se expande en series infinitas ...

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

$$ \ sin ^ n (x) = \ left (\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} \ right) ^ n = \ frac1 {(2i) ^ n} \ sum_ { k = 0} ^ n \ binom nke ^ {i (2k-n) x} = \\ \ frac1 {(2i) ^ n} \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom nk \ sum_ {j = 0} ^ \ infty \ frac {i ^ j (2k-n) ^ j} {j!} x ^ j, $$

y

PS

No es el más simple de la Tierra, pero se puede usar para los primeros términos.

Answer 2

Si estás buscando una forma cerrada, ver secuencias de OEIS A099612.

Es el coeficiente de $x^n$

$$ \dfrac {(\cos (\pi n/2) - \sin (\pi n/2)) \; (4 ^ {n +2} -2 ^ {n +2})} {n}! \left (\dfrac{\zeta(-n-1,3/4) - \zeta(-n-1,1/4)} {2 ^ {- n - 1} -2}-\zeta(-n-1)\right)$ $ donde el argumento de dos por ciento $\zeta$es la función del zeta de Hurwitz.

Pero si se trata de un ejercicio de tarea, es probable que solo pedirle para calcular los primeros términos pocos.

Answer 3

Puedes usar la expansión de Maclaurin para expandir en potencias de x de la siguiente manera:

• $f(x)$ =$f(0)$ +$xf'(0)$ +$(x^2$ /$2!$)$f''(0)$ + ...

dónde $f(x)=1/(1-sinx )$