Resolver $\cos(z)=\frac 34+\frac i4$

Question

¿Cómo puedo proceder para resolver $$\cos(z)=\frac 34+\frac i4$$ No soy muy bueno en la variable compleja... Pero conozco la definición de las funciones complejas, ¿me puedes ayudar?

Answer 1

Como has indicado, conoces las definiciones de las funciones complejas, por lo que estoy seguro de que sabes que la definición del coseno complejo es $cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ y así, utilizando un enfoque general para su ecuación, deseamos resolver $\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}i$ que se simplifica a la ecuación cuadrática $e^{iz}+e^{-iz}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i$ . Ahora multiplicando por $e^{iz}$ y el ajuste $e^{iz}=t$ llegamos a la ecuación cuadrática $t^2-\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}it+1=0$ . La mejor manera de resolver una ecuación cuadrática con coeficientes complejos es a través de completar el cuadrado. Así que después de traer el $1$ a la derecha, obtenemos (¡por favor, verifícalo!): $$(t-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}i)^2=-1+(-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}i)^2$$ Calculando el lado derecho, esto se simplifica a $-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}i$ . Utilizando el teorema deMoivres (dado $r=\frac{5}{8}$ y el argumento $\theta=143.13010.....$ no redondear!) se encuentra $$(t-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}i)=\pm(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}i)$$ a partir de la cual se puede resolver $t$ para ser $1+i$ y $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$ . Nota al margen, es muy chulo que estos números salgan "bien". Así que ahora tienes que resolver $e^{iz}=1+i$ y $e^{iz}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$ para $z$ que se puede hacer a través del logaritmo complejo. Eso lo dejaré a tu criterio.