Encontrar el número de $(a, b, c)$ , donde $a, b, c$ son números enteros enteros, que
$$ \frac{a^2+b^2-c^2}{ab}+\frac{c^2+b^2-a^2}{cb}+\frac{a^2+c^2-b^2}{ac}=2+\frac{15}{abc} $$
Lo he calculado de la siguiente forma $(a+b+c)(2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2)=8abc+15$ . Pero no puedo avanzar desde aquí.
También he intentado trabajar con el caso cuando $a, b, c$ son lados de un triángulo a conseguir, $\cos A+\cos C+\cos B=1+\frac{15}{2abc} < \frac{3}{2}$ . Pero eso da un límite inferior a $abc$ que tampoco es muy útil.
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$2+\frac {15}{2abc}\lt \frac 32$ no puede ocurrir con el positivo $a,b,c$ ...
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@abiessu ¿Te refieres a asumir la ecuación? [ De lo contrario, para grandes $a,b,c$ podría estar ligeramente por encima $2.$ ]
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Lo siento, será $\frac{15}{abc}+2< 3$
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Mos -- Si las soluciones deseadas también deben tener el lado derecho menor que 3, sería bueno insertar esa restricción en la propia pregunta, no sólo mencionarla en un comentario.
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@coffemath, no la pregunta no nos proporciona ese límite en las soluciones. Obtenemos $\frac{15}{2abc}+1 < \frac{3}{2}$ porque en un triángulo $\cos A+\cos B+\cos C < \frac{3}{2}$ .
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Mos -- ¿el problema dice que a,b,c son lados de un triángulo? Lo pregunto porque los términos de la izquierda de la desigualdad (aparte de un factor de 2 que falta en los denominadores) se parecen a lo que da la ley de los cosenos, pero en la pregunta planteada no se suponía que a,b,c fueran lados de un triángulo...
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@coffeemath, no se dio en la pregunta que $a, b, c$ son lados de un triángulo. Por eso escribí "intenté trabajar con el caso cuando a, b, c son lados de un triángulo.