Dimensión del grupo de isometría de una variedad riemanniana completa conexa

Question

Dado un $n$ -dimensional geodésicamente completa conectada Riemannian manifold $M$ queremos demostrar que la dimensión de su grupo de isometría es $$\dim {\rm ISO}(M) \leq \frac{n(n+1)}2.$$

¿Basta decir que, puesto que el espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ y el número anterior es la dimensión de su grupo de isometría, es decir, las traslaciones más las rotaciones, ¿entonces el límite debe ser cierto para cualquier otra variedad? ¿Conoces alguna prueba más rigurosa?

Answer 1

La comparación con el espacio euclidiano da la intuición correcta pero para dar más detalles se podría mencionar que la órbita de un punto $p\in M$ bajo el grupo de isometría es un espacio homogéneo del grupo de isometría, cuya dimensión es como máximo la de $M$ a saber $n$ . Ahora la acción del estabilizador en $p\in M$ se determina unívocamente por la acción inducida sobre el espacio tangente en $p$ que puede identificarse con un subgrupo de $SO(n)$ . Se sabe que este último tiene dimensión $n(n-1)/2$ por lo que para la dimensión total del grupo de isometrías se obtiene como máximo $n + n(n-1)/2 = n(n+1)/2$ .