Caracterizar Abelian Factor de Grupo de Producto

Question

¿A qué grupo es isomorfo a $(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_8)/\langle(1,2,4)\rangle$?

Sólo puedo ver que $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_8$ $128$ elementos y $\langle(1,2,4)\rangle$ $4$ elementos, por lo que este factor se tendrá $128/4=32$ elementos, y por lo tanto ser isomorfo a exactamente uno de los siguientes grupos: $$ \mathbb{Z}_{32}, \quad \mathbb{Z}_{16}\times\mathbb{Z}_2, \quad \mathbb{Z}_8\times\mathbb{Z}dimm_4, \quad \mathbb{Z}_8\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2, \quad \mathbb{Z}dimm_4\times \mathbb{Z}dimm_4\times\mathbb{Z}_2 $$

Sin embargo, la determinación de lo que uno realmente es isomorfo a parece un sucio trabajo, yo sólo lo puede hacer por escrito todos los cosets y ver que abelian grupo es isomorfo a. Hay alguna más rápido y fiable método?

Answer 1

Como se explica en detalle aquí, usted necesita encontrar la forma normal de Smith de la matriz $$\pmatrix{4&0&0\\0&4&0\\0&0&8\\1&2&4}$$ En primer lugar, el uso de la $1$ en la parte inferior izquierda para deshacerse de la última fila y la primera columna: $$\pmatrix{4&0&0\\0&4&0\\0&0&8\\1&2&4}\to\pmatrix{4&-8&-16\\0&4&0\\0&0&8\\1&0&0}\to\pmatrix{\color{red}0&-8&-16\\\color{red}0&4&0\\\color{red}0&0&8\\\color{red}1&\color{red}0&\color{red}0}$$ El aislado $1$ corresponde a un factor de $\Bbb Z/1\Bbb Z$ que es la trivial grupo, así que nos olvidamos de él. Vamos a proceder con el resto de las $3\times 2$ matriz $$\pmatrix{-8&-16\\4&0\\0&8}\to \pmatrix{\color{red}0&-16\\\color{red}4&\color{red}0\\\color{red}0&8}$$ donde un factor de $\Bbb Z/4\Bbb Z$ divisiones.

Finalmente $$\pmatrix{-16\\8}\to\pmatrix{0\\8}$$ gives you the last factor, $\Bbb Z/8\Bbb Z$. Hence the quotient is isomorphic to: $$\Bbb Z/4\Bbb Z\times \Bbb Z/8\Bbb Z$$