función.

Question

deje que la función $f:R_{+}\to R_{+}$,y tal $$f(a+f(b))=f(a+b)+f(b),\forall a,b\in R_{+}$$

Encontrar $f(x)$.

yo: vamos a $a=b=1$,luego $$f(1+f(1))=f(2)+f(1)$$ $a=1,b=2$,luego $$f(1+f(2))=f(3)+f(2)$$ entonces no puedo encontrar lo tiene cualquiera regular,por lo que no puedo.Gracias

Answer 1

Aquí está una prueba suponiendo que $D={\mathbb R}_{+}$ $(0,+\infty)$ (y por lo tanto, no incluyen la $0$).

Paso 1. $f(x)\neq x$ por cada $x\in D$.

De hecho, si $f(x)=x$, $f(a+f(x))=f(a+x)+f(x)$ hace $f(x)=0$, lo $x=0$ que es imposible.

Paso 2. $f(x) > x$ por cada $x\in D$.

Supongamos por contradicción que $f(x)<x$ algunos $x\in D$. Deje $d=x-f(x)$. Deje $y > x$. Poner $a=y-f(x)$, $f(a+f(x))=f(a+x)+f(x)$ se convierte en $f(y)=f(y+d)+(x-d)$, por lo que el $f(y+d)=f(y)-(x-d)$. Por inducción sobre $j\geq 1$ , $f(y+dj)=f(y)-j(x-d)$ por cada $j\geq 1$ y cada $y>x$. Por lo suficientemente grande como $j$, por lo tanto, tendremos $f(y+dj)<0$ de las grandes lo suficientemente $j$, una imposibilidad.

Ahora vamos a definir una secuencia $(x_n)_{n\geq 1}$ por

$$ x_1=x, x_{n+1}=f(x_n)-x_n \ (n\geq 1). \etiqueta{1} $$

Poner a $a=y-x_n$ en la ecuación $f(a+f(x_n))=f(a+x_n)+f(x_n)$ vemos que

$$ f(y+x_{n+1})=f(y)+x_n+x_{n+1} \ \text{cuando} \ y > x_n \etiqueta{2} $$

Deje $z > x_1$. Tomando $y=z$ o $f(z)$ $n=1$ en el punto (2) anterior, vemos que

$$ \begin{array}{lcl} f(z+x_2) &=& f(z)+x_1+x_2 \\ f(f(z)+x_2) &=& f(f(z))+x_1+x_2 \\ \end{array}\etiqueta{3} $$

De modo que la identidad de $f(x_2+f(z))=f(x_2+z)+f(z)$ se convierte en :

$$ f(f(z))=2f(z) \ \text{cuando} \ z > x_1 \etiqueta{4} $$

Pero dado cualquier $z\in D$, siempre podemos encontrar una $x\in D$ tal que $x<z$ (por ejemplo,$x=\frac{z}{3}$), de modo que (4) se sostiene en el hecho de para cualquier $z\in D$ :

$$ f(f(z))=2f(z) \ \text{cuando} \ z > 0 \etiqueta{5} $$

Deje $M={\sf max}(x_1,x_2,x_3)$$y > M$. Se sigue de (2) que $f(f(y+x_3))=f(f(y)+x_2+x_3)$ o $2f(y+x_3)=f(f(y)+x_2+x_3)$. Ahora

$$ f(f(y)+x_2+x_3)= f(f(y)+x_2)+x_2+x_3= f(f(y)))+x_1+2x_2+x_3=2f(y)+x_1+2x_2+x_3 \etiqueta{6} $$

$$ f(y+x_3)=f(y)+\frac{x_1+2x_2+x_3}{2} \ \text{cuando} \ y > M \etiqueta{7} $$

Por otro lado, sabemos que a partir de (2)$f(y+x_3)=f(y)+x_2+x_3$, por lo que que $\frac{x_1+2x_2+x_3}{2}=x_2+x_3$, y, por tanto,$x_3=x_1$. Revisando (2) para$n=1$$n=2$, obtenemos que

$$ f(y+x_2)=f(y+x_1), \text{cuando} \ y > M. \etiqueta{8} $$

Si ponemos $T=|x_2-x_1|$, se sigue de (8) que

$$ f(z+T)=f(z), \text{cuando} \ z > M-{\sf min}(x_1,x_2). \etiqueta{9} $$

Por inducción tenemos $f(z+Tj)=f(z)$ cualquier $j\geq 1$ y cualquier $z > M-{\sf min}(x_1,x_2)$. Desde el paso 2 se deduce $f(z)>z+Tj$, que sólo es posible si $T=0$, lo $x_2=x_1$ o en otras palabras

$$ f(x)=2x $$

Answer 2

Podemos dejar que la $a=0$ y ver que: $$f(f(b)) = f(b) + f(b)$$ $$f(f(b)) = 2.f(b)$$ Esta función $f$ tiene un dominio que es la misma que la de su gama.

Sustituyendo $f(b)$$x$: $$f(x) = 2x $$ Lo que da: $$f:Range(f) \rightarrow Range(f)$$ $$f: x \mapsto 2x$$ Esto nos permite entonces definir el rango arbitrariamente (siempre y cuando el intervalo es cerrado bajo la multiplicación por 2). Dado que la pregunta se estipula que $f : \mathbb{R_{+}} \rightarrow \mathbb{R_{+}}$, que es lo que vamos a elegir.

Por lo tanto $f$ es: $$f: \mathbb{R_{+}} \rightarrow \mathbb{R_{+}}$$ $$x \mapsto 2x$$

Answer 3

la sugerencia es :

$f(f(2a))=f(a+f(a+f^{-1}(a)))=f(2a+f^{-1}(a))+a$

$f(2f(a))=f(f(a)+a)+f(a)=f(2a)+2a$

$\Longrightarrow$$f(2a)+a=f(2a+f^{-1}(a))$

$\Longrightarrow$$f(x)=2x$