Estoy buscando un continuo función $f$ definido en el compacto intervalo $[0,1]$ que es no de variación limitada .
Creo que esa función puede existir. ¿Alguna idea?
Por supuesto, la función $f$ tal que $$ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if $x \in [0,1] \cap \mathbb{Q}$} \\\\ 0 & \text{if $x \notin [0,1] \cap \mathbb{Q}$} \end{cases} $$ no es de variación acotada en $[0,1]$ pero no es continuo en $[0,1]$ .
@OlivierOloa Estoy un poco cansado así que esto tendrá que servir: i.stack.imgur.com/phWFJ.png . De todos modos, debería ser fácil de imaginar.
He aquí una idea general. Una función de variación acotada en $[0,1]$ es necesariamente diferenciable a.e.. En otras palabras, cualquier función continua que no sea diferenciable en un conjunto de medidas positivas no es de variación acotada. Por lo tanto, la función de Weierstrass no es de variación acotada con seguridad.
Además, algunas funciones que oscilan demasiado no pueden ser también variaciones acotadas, por ejemplo $$ u(x)=x^a\sin(\frac{1}{x^b}) $$ no es de variación acotada mientras $1 \le a\leq b$ .
Sí, con $1 < a \le b$ y $u(0)=0$ Esto también proporciona un ejemplo de una función que es diferenciable en todas partes pero que no tiene una variación limitada.
La propiedad sobre $x^a \sin(1/x^b)$ es el ejercicio 4.4b de la página 205 de Benedetto-Czaja, o el ejercicio 35 de la página 119 de Royden-Fitzpatrick. Ambos ejercicios suponen $a$ y $b$ son positivos. Obsérvese que si $a$ es negativo, entonces $x^a \sin(1/x^b)$ será ilimitada, por lo que nunca tendrá variación acotada.
El Función Weierstrass restringido al intervalo $[0,1]$
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