Combinación lineal de dos dependientes de la multivariante aleatoria normal de las variables

Question

Supongamos que tenemos dos vectores de variables aleatorias, ambas son normales, es decir, $X \sim N(\mu_X, \Sigma_X)$$Y \sim N(\mu_Y, \Sigma_Y)$. Estamos interesados en la distribución de su combinación lineal $Z = A X + B Y + C$ donde $A$ $B$ son matrices, $C$ es un vector. Si $X$ $Y$ son independientes, $Z \sim N(A \mu_X + B \mu_Y + C, A \Sigma_X A^T + B \Sigma_Y B^T)$. La cuestión está en que el dependiente caso, suponiendo que conocemos la correlación de cualquier par $(X_i, Y_i)$. Gracias.

Los mejores deseos, Ivan

Answer 1

En ese caso, usted tiene que escribir (esperemos que con clara notaciones) $$ \left(\begin{matrix}X\\Y \end{de la matriz}\right) \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{de la matriz}\right) \Sigma_{X,Y} \right] $$ (editado: suponiendo normalidad conjunta de $(X,Y)$) Entonces $$ AX+BY=\left(\begin{matrix}A& B \end{de la matriz}\right) \left(\begin{matrix}X\\Y \end{de la matriz}\right) $$ y $$ AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}A& B \end{de la matriz}\right) \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{de la matriz}\right) + C, \left(\begin{matrix}A & B \end{de la matriz}\right)\Sigma_{X,Y} \left(\begin{matrix}A^T \\ B^T \end{de la matriz}\right)\right] $$ es decir, $$ AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left [\mu_X + B\mu_Y +C, Un\Sigma_{XX}^T+B\Sigma_{XY}^TA^T+\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{YY}B^T \right] $$

Answer 2

Tu pregunta no tiene una respuesta única, ya que actualmente planteados, a menos que usted asuma que $X$$Y$ conjuntamente están distribuidos normalmente con la covarianza parte superior derecha del bloque de $\Sigma_{XY}$. creo que decir esto porque dice usted que tiene cada covarianza entre X e Y. En este caso podemos escribir $W=(X^T,Y^T)^T$, lo que también es normal multivariante. a continuación, $Z$ se da en términos de $W$ como:

$$Z=(A,B)W+C$$

A continuación, utilice su fórmula habitual para la combinación lineal. Tenga en cuenta que la media es invariable, pero la matriz de covarianza tiene dos términos adicionales añadidos $A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{XY}^TA^T$