Contar los subconjuntos de diferentes tamaños de un conjunto de

Question

Deje $A$ ser un conjunto no vacío, y $\mathcal{P}^*(A)$ denotar el poder conjunto de $A$ excluyendo el conjunto vacío. Hay una natural relación de equivalencia en $\mathcal{P}^*(A)$:

para $S_1,S_2\in \mathcal{P}^*(A)$ ( $S_1,S_2\subseteq A$ ), podemos decir $S_1\sim S_2$ si hay un bijection entre el $S_1,S_2$.

La pregunta que yo soy concerniente aquí es sobre el número de clases de equivalencia de a $\mathcal{P}^*(A)$ bajo $\sim$. Al $A$ es un conjunto finito, entonces el número de clases de equivalencia es fácilmente visto a $|A|$; esto también puede ser demostrado si $A$ es contable, proporcionando un bijection entre el $A$ y el de clases de equivalencia de a $\mathcal{P}^*(A)$.

Pregunta: ¿Cuál es el número de clases de equivalencia de a $\mathcal{P}^*(A)$ bajo $\sim$ si $A$ es uncountably infinito?

El número de clases de equivalencia en $\mathcal{P}^*(A)$ es intuitivamente parece ser $|A|$, pero no estoy recibiendo ningún sentido en el caso de $A$ es uncountably infinito. No he encontrado tal cosa (pregunta/hecho) en algunos textos estándar de la teoría de conjuntos.

Answer 1

Depende de lo $A$ es. De hecho, (suponiendo que el axioma de elección) el número de clases de equivalencia de a $\mathcal{P}^*(A)$ $A$ incontable puede ser de cualquier cardinalidad infinita, por la elección de $A$ adecuadamente. Por definición, si $|A|=\aleph_{\alpha}$, el infinito cardenales de menos de o igual a $|A|$ exactamente los cardenales $\aleph_\beta$$\beta\leq\alpha$. Por lo que el número de diferentes cardinalidades de los subconjuntos de a$A$$\aleph_0+|\alpha|$. Aquí $\alpha$ puede ser cualquier ordinal a todos, por lo $|\alpha|$ puede ser cualquier cardenal.

Tenga en cuenta que, en particular, por ejemplo, ZFC no puede responder a esta pregunta por $A=\mathbb{R}$, ya que ZFC no puede determinar el aleph número $|\mathbb{R}|$ es (se puede incluso determinar la cardinalidad de los ordinales $\alpha$ tal que $\aleph_\alpha=|\mathbb{R}|$; todo lo que puede decir es que el $|\alpha|\leq|\mathbb{R}|$).

Answer 2

Si $|A|=\omega_\alpha$, $\omega+|\alpha|$ números cardinales inferior o igual a $|A|$ y, por tanto, $\omega+|\alpha|$ clases de equivalencia en $\sim$. Por lo tanto, la respuesta es $\max\{\omega,|\alpha|\}$. (Estoy asumiendo el axioma de elección, ya que de lo contrario los asuntos realmente sucio.)