Demostrando la divisibilidad en la escuela primaria número teoría problema

Question

Encontrar todos los enteros positivos n tales que $(n+1)\mid(n^2+1)$.

Lo que he hecho hasta ahora.

Me di cuenta de que $ n^2 + 1 = (n + 1 - 1)^2 + 1 = (n + 1)^2 -2(n + 1) + 2$. Por lo tanto, para que la relación sea verdadera, debemos tener la $(n+1)\mid 2$$n=1$.

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Su argumento es maravilloso.

¿Por qué debe $n = 1$? Ya que los únicos enteros positivos que dividen $2$$1$$2.$, por Lo que la única solución positiva de la $n$ tal que $(n + 1)$ divide $2$ es para cuando $n = 1 \implies n + 1$. $\;(n = 0$ habría dado $n + 1 = 1 \mid 2$, pero $n = 0 \ngeq 1$.)

Hecho!

Por supuesto, usted está utilizando el hecho de que $\,a\mid (am + an + x) \iff a\mid a(m + n) + x \implies a \mid x,\;$, pero que es bastante fácil de discernir, dado su argumento.

Answer 2

Su argumento es muy bueno. Hay una falla menor. En principio, debería haber escrito ese $n+1$ divide $n^2+1$ si y sólo si $n+1$ divide $2$. Desde que no la escriba, y sólo escribió el equivalente de "cualquier solución debe dividir $2$," debe de haber comprobado que la $n=1$ realmente funciona.

Voy a describir los otros dos enfoques que son (en este caso) menos bonito que el tuyo.

$1.$ Dividir el polinomio $x^2+1$$x+1$, en la forma usual. Tenemos $$\frac{x^2}{x+1}= x-1+\frac{2}{x+1}.$$ De ello se deduce que para cualquier entero $n\ne -1$, tenemos $$\frac{n^2+1}{n+1} =n-1 +\frac{2}{n+1}.$$ Por lo tanto $n+1$ divide $n^2+1$ si y sólo si $n+1$ divide $2$. La única solución positiva es $n=1$.

$2.$ Utilizamos la congruencia de la notación. Si usted no ha cumplido todavía, es muy pronto. Tenga en cuenta que $n\equiv -1\pmod{n+1}$. De ello se desprende que $n^2\equiv 1\pmod{n+1}$. Pero de $n+1$ divide $n^2+1$, llegamos a la conclusión de que $n^2\equiv -1\pmod{n+1}$.

De$n^2\equiv -1\pmod{n+1}$$n^2\equiv -1\pmod{n+1}$, llegamos a la conclusión de la resta que $2\equiv 0\pmod{n+1}$, $n+1$ divide $2$. La única (positivo) $n$ que funciona es dado por $n=1$. Por último, si $n=1$, entonces, de hecho, $n+1$ divide $n^2+1$.