Homotopy equivalencia pregunta

Question

He estado buscando por problemas en topología algebraica y averiguar las preguntas relacionadas con homotopy espacios equivalentes. Me di cuenta de que el siguiente problema, pero no puede formalmente verificar mi respuesta.

Determinar si es o no $X = \mathbb{R}^3 \setminus \{p\}$ $Y = \mathbb{R}^3 \setminus l$ son homotopy equivalente, donde $\{p\}$ es un punto y $l$ es una línea.

Intuitivamente, parece como si no lo son, pero como se ha mencionado, estoy teniendo un tiempo difícil mostrar esto. Iba a ser capaz de alguna manera de mostrar que no está usando su fundamental grupos? Hasta ahora, sé que $\pi_1(X) = \{e\}$.

Alguien puede ayudar?

Gracias!

Answer 1

Yo no se lo que significa para mostrar directamente 2 espacios no son homotopy equivalente - el uso fundamental de los grupos es una buena manera de hacerlo.

Para ello, el espacio de $Y$ deformación retratcs en $\mathbb{R}^2 - \{p\}$ donde $p$ es un punto en el $l$. Este espacio de la deformación se retrae en $S^1$. Lo $\pi_1(S^1)$?

Answer 2

En topología algebraica uno tiene invariantes topológicos, es decir, cantidades que son invariantes bajo homotopy de equivalencia. Si se puede calcular dicha cantidad para cada uno de sus espacios y el resultado es diferente entonces estás a salvo a la conclusión de que los espacios no son homotopy equivalente. Ejemplos de tales invariantes son homotopy grupos de homología de grupos (estos dos están relacionados, pero la última es más fácil de calcular). Y si la homología de grupos resultan ser iguales se podría tratar de calcular sus cohomology anillo. E. g. echa un vistazo a $\mathbb{S}^2\vee\mathbb{S}^4$$\mathbb{C}P^2$; su homología de grupos coinciden pero tienen diferente estructura de anillo.

Le sugiero que trate de calcular estas cantidades por ti mismo. Es una buena práctica para subirse las mangas y ponerse manos a la obra en algunos primaria espacios!

edit: Si no ya saben: el grupo fundamental (primer homotopy grupo) es un invariante topológico. Esto debe dejar de ajuste para responder a la pregunta. Espero que le ayude.