Minimizar el límite de la serie

Question

Para una secuencia $\{a_n\}$ de los no-negativos reales de los que son monótonamente creciente, queremos minimizar las dos expresiones siguientes:

$$\sup_k\left(\frac{1}{a_{k-1}}\sum_{n=0}^ka_n\right)$$

$$\lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{a_{k-1}}\sum_{n=0}^ka_n\right)$$

Entre las secuencias de la forma $a_n=b^n$, se puede calcular explícitamente la expresión: $$\frac{1}{b^{k-1}}\sum_{n=0}^kb^n=\frac{1}{b^{k-1}}\frac{b^{k+1}-1}{b-1}\to\frac{b^2}{b-1}$$ which is minimized for $b=2$, so $a_n=2^n$ minimiza tanto el supremum y limitar las expresiones.

Sospecho $2^n$ alcanza el valor mínimo posible de ambas expresiones. ¿Cómo podía ser probada? O ¿cómo podría construir una secuencia que alcanza un valor inferior?

Answer 1

Esta respuesta sólo aclara mi comentario anterior (ya que no hay necesidad de considerar la $\beta$ como en mi primer comentario):

Considere la posibilidad de una secuencia general de los positivos no decreciente de números de $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$. Definir $$\alpha = \limsup_{i\rightarrow\infty} a_{i}/a_{i-1}$$

Por lo $1\leq \alpha \leq \infty$. Usted puede quitar el caso de $\alpha = \infty$ desde entonces $\sup_k \frac{1}{a_{k-1}}\sum_{n=0}^k a_n = \infty$. Ahora, para todos convenientemente gran $i$ tenemos que la relación de $a_i/a_{i-1}$ es "aproximadamente" en la mayoría de las $\alpha$ (es decir, la relación no es más que $\alpha + \epsilon$ cualquier $\epsilon>0$). Así que para la adecuada grandes índices de $k$ que $a_k/a_{k-1} \approx \alpha$ tenemos

$$ \frac{1}{a_{k-1}}[a_0+...+a_{k-2} + a_{k-1} + a_k] \approx [stuff] + 1 + \alpha \geq ...$$

Answer 2

Este es demasiado largo para un comentario, pero el cartel y tengo "de forma heurística" muestra que $a_k = 2^k$ debe ser óptima. No estoy seguro de si los datos son correctos, pero esperemos que alguien puede comentar sobre esto ?

Podemos simplificar nuestra expresión como $$ \frac{1}{a_{k-1}} \sum_{n=0}^{k} a_n = \frac{1}{a_{k-1}} \sum_{n=0}^{k-2} a_n + 1 + \frac{a_{k+1}}{a_k}.$$ Si $$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} \rightarrow L < \infty,$$ donde$L > 1$, entonces sabemos que $a_k$ $\sim CL^{k}$ para algunas constantes $C$. El cartel original ya ha publicado un argumento que si $a_k$ es geométrica, entonces los poderes de $2$ son óptimas. De lo contrario, si la relación anterior converge, debemos tener $$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} \rightarrow 1.$$ En este caso, para $k$, obtenemos que $$ \sum_{n=0}^k a_n = O(k) \cdot a_k \implies \frac{1}{a_k} \sum_{n=0}^k a_n = O(k).$$ Por lo tanto, la expresión original divergentes. Por lo tanto, los poderes de $2$ son óptimas. Sin embargo, como se señaló en los comentarios, el argumento no se sostiene si la relación no converge.