La resolución de $3^n \frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}(1+e^{-\pi}) 2^{-\frac{3n}{2}} \le 2^{-n/2+8}$

Question

Es posible resolver la siguiente desigualdad explícitamente? O, al menos, probarlo con algún método? $$3^n \frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}(1+e^{-\pi}) 2^{-\frac{3n}{2}} \le 2^{-n/2+8}$$ Para $n \in \mathbb{N}$.

Estoy leyendo un trabajo de investigación donde dejar esto para el lector y yo no podía encontrar una manera de separar las variables, o incluso con la aproximación de Stirling. También tomando la derivada de la función en un lío.

La graficación de las funciones hace que la desigualdad parece plausible (los puntos son de $f(a)$, y los guiones se $f(b))$:

Answer 1

Ayuda: la desigualdad es equivalente a: $$\dfrac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}(1+e^{-\pi})\leq 256\left(\frac{2}{3}\right)^n$$ o $$f(n) = \dfrac{(2.25\cdot\pi)^{n/2}}{(n/2)!}\leq\dfrac{256}{1+e^{-\pi}}=245.395...$$

Ahora, usted puede simplemente observar que el lado izquierdo es el tiempo de la disminución de, finalmente, porque un factorial está aumentando más rápidamente que un exponente. Esto significa que no hay un único máximo global en algunos $n = k$, donde se ha de satisfacer las desigualdades: $$f(k-1)<f(k)$$ and $$f(k)>f(k+1).$$

Si usted resolver estas desigualdades, entonces usted puede encontrar fácilmente que $k = 14$, lo que le da el máximo de $f(k) = 174.943.$