¿Guías para aprender sobre el trabajo de Ramanujan?

Question

Es bien sabido que uno de los primeros libros que estudió Ramanujan fue "Sinopsis de las Matemáticas Puras y Aplicadas" y que dio forma a la forma en que Ramanujan pensaba y escribía sobre las matemáticas. Al estar interesado en los trabajos de Ramanujan, me preguntaba si sería de alguna ayuda si estudiara esta "Sinopsis".

Además, agradecería que alguien que tenga experiencia en el aprendizaje de la obra de Ramanujan (como sus "Cuadernos" y su "Cuaderno Perdido") me explicara cuál es una buena manera de abordar sus obras. ¿Cuáles son los requisitos previos? ¿Sería capaz de comprender sus obras después de haber tomado cursos sobre, por ejemplo, la Teoría Analítica de Números y el Análisis (Real/Complejo)? ¿Es mejor leer sus cuadernos (supuestamente después de haber tomado estos cursos) inmediatamente, o empezar con libros como "Ramanujan: doce conferencias sugeridas por su vida y obra" y "Teoría de los números en el espíritu de Ramanujan" (escritos por Hardy y Berndt respectivamente)? ¿Debo aprender de antemano sobre las formas modulares? Etcétera.

Gracias,

Max

Answer 1

Conozco a una persona que leyó (al menos partes de) Sinopsis de Carr cuando eran jóvenes; ahora son unos matemáticos excepcionales, pero no creo que haya una relación causal. Más bien, existe una correlación entre su interés temprano por las matemáticas y su independencia, y su interés por la lectura de fuentes originales inusuales como Sinopsis de Carr .

En cuanto a la cuestión de la lectura de las fuentes originales (especialmente las antiguas): Creo que esto tiende a ser desalentado, y las razones están relacionadas con el comentario de Qiaochu --- es difícil tanto aprender todo lo que es necesario para hacer las matemáticas modernas y dedicar tiempo a leer todas las fuentes originales. Por otro lado Por otra parte, la lectura de fuentes antiguas puede tener ventajas que a menudo no se mencionan: por ejemplo, se pueden encontrar puntos de vista o temas o técnicas que ya no se destacan, o que incluso se han olvidado, lo que a veces puede ser útil de una manera muy específica, y otras veces útil en un sentido de inspiración más general.

Para hablar de mí mismo por un momento, cuando aprendía matemáticas leía muchas fuentes antiguas y algo inusuales, y creo que esto tiene sus ventajas, así como las desventajas mencionadas anteriormente. Creo que tengo un interés superior a la media en la historia de las matemáticas y en el desarrollo histórico de las ideas matemáticas, por lo que me resultó agradable y provechoso hacerlo. Pero si hubiera tenido un temperamento matemático diferente, no habría sido una elección sensata; era un reflejo de mi propia personalidad matemática.

Si te parece interesante leer fuentes antiguas, o crees que puede ser interesante intentarlo, te sugiero que las mires y veas lo que sacas de ellas. Pero ten en cuenta que no podrás aprender matemáticas modernas de esta manera, así que no querrás que esta lectura sea tu única lectura de ninguna manera; más bien, podrías considerarla como un complemento a tu estudio regular de las exposiciones modernas.

En cuanto a aprender específicamente sobre el trabajo de Ramanujan, el mejor lugar para empezar es el libro de Hardy sobre Ramanujan. Es un libro maravilloso.

Por otro lado, para abordar el legado de Ramanujan en un contexto moderno, lo mejor es aprender la teoría de las formas modulares. Para ello, el libro de Serre Curso de aritmética es una muy buena fuente. (El libro de Serre consta de tres partes que sólo están conectadas de forma imprecisa. Así que se puede leer la sección sobre las formas modulares sin haber leído antes con atención las otras secciones).

Answer 2

Yo tengo mi propia forma de acercarme a la obra de Ramanujan. Mi consejo es que consultes los dos volúmenes de sus Noteboks y el Cuaderno Perdido. Puedes encontrarlos en algunas bibliotecas universitarias, o quizás en línea. Léelos selectivamente varias veces. Me parecieron muy interesantes sus identidades relacionadas con las funciones theta, las series de Lambert y las ecuaciones modulares. Puede que encuentre otros temas que le interesen. Puedes complementar esto con los cinco volúmenes de Berndt editando el Cuaderno de Ramanujan y los cuatro volúmenes de Andrews y Berndt editando el Cuaderno Perdido. Los únicos requisitos previos son las series de potencias, un poco de cálculo y álgebra universitaria. Buena suerte.

Answer 3

Es mejor pasar por la teoría elemental de los números primero, luego uno puede empezar con el libro de Hardy. Uno puede entender el cuaderno de Ramanujans si primero pasa por los elementales.

Answer 4

Además del libro de Hardy sobre Ramanujan, yo recomendaría también las obras recopiladas de Ramanujan, editadas por Hardy, P. V. Seshu Aiyar y B. M. Wilson. Ambas están publicadas por la AMS - mira en ams.org y busca "Ramanujan" en sus libros. Descubrirá un gran número de publicaciones (para mí) fascinantes. Yo aprecio mis ediciones originales de Chelsea de estas dos obras.

El nombre actual que hay que buscar en los libros sobre Ramanujan es Bruce C. Berndt. Me parece increíble la cantidad y la calidad del trabajo que ha realizado.

Answer 5

La "Sinopsis de matemáticas puras y aplicadas" es precisamente lo que dice ser. Es una forma abreviada de otros textos del siglo XIX para los que proporciona listas de referencias. No se va a entender bien el contenido de esta sinopsis si no se leen también esos otros textos, todos los cuales, al tener más de 150 años de antigüedad, están disponibles gratuitamente en Internet hoy en día. Sin embargo, esta sinopsis no va a ayudar mucho en el estudio de la propia obra de Ramanujan. En cambio, le proporcionará una mejor comprensión de las matemáticas de pregrado en Cambridge en el siglo XIX. Si quiere estudiar la obra de Ramanujan, utilice los volúmenes de Berndt que detallan los cuadernos. Berndt enumera referencias a las que deberías recurrir para demostrar fórmulas que él mismo no demuestra. Antes de empezar, aprende algo de análisis complejo y lee sobre formas modulares de Apostol o Serre. Luego ten a mano a Hardy y a Wright. No mires el volumen de Hardy "Ramanujan", ya que es demasiado avanzado para el principiante y omite todo el detalle que se encuentra en los libros de Berndt. También tendrás que consultar el libro de Lorentzen y Waaderland sobre la convergencia de fracciones continuas. Después de estudiar los cuadernos, podrá consultar los trabajos recopilados (también editados por Berndt), que también tienen amplias listas de referencias, incluyendo libros importantes como Andrews' Theory of Partitions, que contiene la mejora de Rademacher de la fórmula de partición asintótica de Hardy-Ramanujan, que Selberg también descubrió cuando era adolescente.