Conjetura de identidad del coeficiente binomial

Question

La siguiente identidad (conjetural) ha surgido en un problema de investigación en el que estoy trabajando:

para incluso $a$ $$\sum_{i=0}^{a-1} (-1)^{a-i}\binom{a}{i} \binom{2m-i-2}{m-i-1}=0;$$ y para impar $a$ $$\sum_{i=0}^{a-1} (-1)^{a-i}\binom{a}{i} \binom{2m-i-2}{m-i-1}=-2\binom{2m-a-2}{m-a-1},$$

donde $a,m$ son enteros positivos con $1\le a\le m-2$ .

He comprobado que la identidad se mantiene para valores pequeños de $a,m$ .

El problema más cercano que he encontrado es Ayuda con la identidad del coeficiente binomial . ¿Alguna sugerencia de cómo aplicar esa identidad o encontrar otra prueba?

Answer 1

Si se amplía la suma a $a$ puede combinar los casos pares e Impares en

$$ \sum_{i=0}^a(-1)^i\binom ai\binom{2n-i}{n-i}=\binom{2n-a}n\;, $$

con $n=m-1$ . Se trata de un recuento doble utilizando inclusión-exclusión del número de maneras de seleccionar $n$ de $2n$ elementos tales que $a$ Los elementos particulares no se incluyen en la selección.

Answer 2

Para una demostración algebraica de la identidad reformulada por @joriki escribimos

$$\sum_{q=0}^a (-1)^q {a\choose q} {2n-q\choose n-q} = \sum_{q=0}^a (-1)^q {a\choose q} [z^{n-q}] (1+z)^{2n-q} \\ = [z^n] (1+z)^{2n} \sum_{q=0}^a (-1)^q {a\choose q} z^q (1+z)^{-q} \\ = [z^n] (1+z)^{2n} \left(1-\frac{z}{1+z}\right)^a = [z^n] (1+z)^{2n-a} = {2n-a\choose n}.$$