Cómo encontrar la máxima curvatura de $y=e^x$ ?

Question

Así que encontré que la curvatura era $K = \dfrac {e^{x}}{(1+e^{2x})^{3/2}}$ pero no sé cómo maximizar esto?

Answer 1

$$K(x)=\frac{e^x}{(1+e^{2x})^{3/2}} = \frac{1}{\left(e^{-2x/3}+e^{4x/3}\right)^{3/2}}$$ por lo tanto, para maximizar $K(x)$ es lo mismo que minimizar: $$f(x) = e^{-2x/3}+e^{4x/3}.$$ Resolviendo $f'(x)=0$ conseguimos que $x=-\frac{\log 2}{2}$ es el único punto estacionario de $f(x)$ por lo que el único punto estacionario de $K(x)$ y..: $$K(x) \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}.$$

Answer 2

Podemos diferenciar y ponerlo a cero para obtener

$$\frac{e^x-2e^{3x}}{(1+e^{2x})^{5/2}}=0\implies e^x=2e^{3x}\implies\frac{1}{2}=e^{2x}.\tag{1}$$

A continuación, resuelva para obtener $x=-\frac{1}{2}\log 2$ .

Nota - las distintas operaciones algebraicas de (1) son posibles ya que $e^x\neq 0$ para todos $x\in\mathbb{R}$ . Para futuras cuestiones similares, puede ser necesario determinar los máximos/mínimos utilizando la segunda derivada. También puede ser necesario abordar los denominados puntos de "silla de montar".