Así que encontré que la curvatura era $K = \dfrac {e^{x}}{(1+e^{2x})^{3/2}}$ pero no sé cómo maximizar esto?
$$K(x)=\frac{e^x}{(1+e^{2x})^{3/2}} = \frac{1}{\left(e^{-2x/3}+e^{4x/3}\right)^{3/2}}$$ por lo tanto, para maximizar $K(x)$ es lo mismo que minimizar: $$ f(x) = e^{-2x/3}+e^{4x/3}. $$ Resolviendo $f'(x)=0$ conseguimos que $x=-\frac{\log 2}{2}$ es el único punto estacionario de $f(x)$ por lo que el único punto estacionario de $K(x)$ y..: $$ K(x) \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}.$$
Podemos diferenciar y ponerlo a cero para obtener
$$\frac{e^x-2e^{3x}}{(1+e^{2x})^{5/2}}=0\implies e^x=2e^{3x}\implies\frac{1}{2}=e^{2x}.\tag{1}$$
A continuación, resuelva para obtener $x=-\frac{1}{2}\log 2$ .
Nota - las distintas operaciones algebraicas de (1) son posibles ya que $e^x\neq 0$ para todos $x\in\mathbb{R}$ . Para futuras cuestiones similares, puede ser necesario determinar los máximos/mínimos utilizando la segunda derivada. También puede ser necesario abordar los denominados puntos de "silla de montar".
Como hay un único punto estacionario, no es necesario calcular la segunda derivada para saber si tenemos un mínimo o un máximo. La función original es no negativa y su límite es $x\to +\infty$ es igual a cero, por lo que hemos encontrado un máximo.
Estoy de acuerdo, pero ¿por qué resolver una cuestión particular con una técnica general que es más complicada, si hay un camino más corto?
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Para los grandes negativos $x$ el denominador es básicamente $1$ Así que todo el asunto es básicamente $e^x$ que es pequeño. Para los grandes positivos $x$ el denominador es básicamente $e^{3x}$ Así que todo el asunto es básicamente $e^{-2x}$ que, de nuevo, es pequeño. Así que, por un argumento del tipo del teorema de Rolle, hay un máximo global que también es un máximo local. Se puede encontrar el máximo local tomando la derivada y haciéndola igual a cero. (El cálculo es un poco complicado, pero se puede hacer).