Isogeny de una curva elíptica

Question

Que $E$ ser una curva elíptica sobre $\mathbb{Q}$ y $p$ un primer. Entonces ¿qué significa por "$E$ tiene un isogeny $\mathbb{Q}$ de grado de $p$"?

Answer 1

Como Robert Auffarth dijo en un comentario, un $\mathbb{Q}$-isogeny de grado $p$ es un no-constante de morfismos de curvas elípticas $E\to E'$ definido a lo largo del $\mathbb{Q}$, que envía cero a cero, es decir, $\mathcal{O}_E\mapsto \mathcal{O}_{E'}$, y tiene un grado $p$. Dado que el grado de el mapa es igual al tamaño del núcleo, el grado $p$ condición significa que el núcleo tiene un tamaño exactamente $p$.

Pues resulta que (esto es difícil), sólo hay $\mathbb{Q}$-racional isogenies de curvas elípticas de grado $p$ para un número finito de números primos, es decir,$2,3,5,7,11,13,17,19,37,43,67$, e $163$.