Cómo hallar la dirección de la velocidad de un sistema de referencia en el que dos sucesos son simultáneos en el caso de un intervalo similar al espacio

Question

Supongamos que en un sistema de referencia inercial $S$ un acontecimiento $A$ se produce en $(ct_A, x_A, y_A, z_A)$ y evento $B$ se produce en $(ct_B, x_B, y_B, z_B)$ .

Ahora el intervalo invariante de estos dos eventos es,

$$I = -c^2 (t_A - t_B)^2 + (x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 + (z_A - z_B)^2 = -c^2 \Delta t^2 + \Delta \bar x^2,$$

donde estoy usando el $(-, +, +, +)$ métrico.

Ahora puede haber $3$ casos particulares de interés correspondientes a sucesos temporales, espaciales y luminosos.

Para $I = 0 \implies c^2 \Delta t^2 = \Delta \bar x^2$ Los eventos son similar a la luz .

Para $I < 0 \implies c^2 \Delta t^2 > \Delta \bar x ^2$ Los eventos son como el tiempo y un marco de referencia $\bar S$ (accesible mediante la Transformación de Lorentz apropiada) para la que estos dos sucesos ocurren en el mismo lugar. Se puede calcular la velocidad (magnitud y dirección).

Para $I > 0 \implies c^2 \Delta t^2 < \Delta \bar x^2$ Los eventos son como el espacio y a un sistema de referencia $\bar S$ (de nuevo accesible mediante la Transformación de Lorentz apropiada) para la que estos dos sucesos son simultáneos.

Sé cómo calcular la velocidad(dirección y magnitud) del $\bar S$ en relación con el $S$ marco en caso de como el tiempo evento. También sé cómo calcular el magnitud de velocidad del $\bar S$ en relación con el $S$ marco para un como el espacio evento.

Cómo encontrar el dirección de la $\bar S$ respecto a $S$ para un como el espacio ¿evento?

Answer 1

Este problema me habría dado ataques cuando aprendí relatividad por primera vez, pero desde que he empezado a utilizar el punto de vista geométrico como la herramienta a la que recurro primero es casi trivial.

La dirección es fácil: impulsa en la dirección del acontecimiento anterior al posterior medido en tu marco actual. ¿Por qué? Porque quieres que el eje espacial se incline hacia arriba en esa dirección.

Conseguir la velocidad también es sorprendentemente fácil. Necesitas que el nuevo eje espacial tenga una pendiente (en tu sistema de coordenadas actual) igual a $(\Delta x)/(c \,\Delta t)$ que es exactamente el $\beta$ del impulso que necesitas.

Answer 2

He aquí una imagen que debería corresponder a la solución gráfica de dmckee:

Tienes que proceder de la siguiente manera:

• Coloca el evento A en el origen de coordenadas (por desplazamiento de coordenadas).

• Entonces conecta ambos eventos por una línea x' que es el eje espacial del nuevo marco de referencia investigado

• A continuación, dibuje en consecuencia el eje temporal ct' que es el nuevo eje espacial x' reflejado en el eje de 45° (α=β).

• En sus coordenadas, este nuevo eje temporal ct' es la línea del mundo del sistema de referencia investigado, y la dirección de su velocidad relativa.

Answer 3

La respuesta se refiere al caso $\:I > 0$ así que deja en un marco $\:\mathrm{S'}\:$ dos acontecimientos que tienen lugar por un intervalo de espacio $\:\Delta\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\:$ e intervalo de tiempo $\:\Delta t^{\boldsymbol{\prime}}\:$ aparte con $$\begin{equation} \left\Vert\dfrac{\Delta\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}}{\Delta t^{\boldsymbol{\prime}}} \right\Vert^{2} >c^{2} \nonumber \end{equation}$$ Estos dos acontecimientos son causalmente independientes.

Ahora, buscamos marcos $\:\mathrm{S}\:$ moviéndose con respecto a $\:\mathrm{S'}\:$ en el que estos dos acontecimientos se producen simultáneamente. Sin pérdida de generalidad, dejemos que tal sistema $\:\mathrm{S}\:$ estar en Configuración Estándar para $\:\mathrm{S'}\:$ y moviéndose con velocidad $\:\mathbf{v}\:$ con respecto a ella. Entonces para la Transformación de Lorentz entre ellos tenemos (ver Figura) $$\begin{align} \Delta \mathbf{x} & = \Delta\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot} \Delta\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v} \Delta t^{\boldsymbol{\prime}} \tag{01a}\\ \Delta t & = \gamma\left( \Delta t^{\boldsymbol{\prime}}-\dfrac{\mathbf{v}\boldsymbol{\cdot} \Delta \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}}{c^{2}}\right) \tag{01b}\\ \mathbf{n} &=\dfrac{\mathbf{v}}{\Vert\mathbf{v}\Vert} \tag{01c} \end{align}$$ Para que estos dos acontecimientos sean simultáneos en el marco $\:\mathrm{S}\:$ la ecuación (01b) da como resultado $$\begin{equation} \Delta t =0 \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta t^{\boldsymbol{\prime}}-\dfrac{\mathbf{v}\boldsymbol{\cdot} \Delta \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}}{c^{2}}=0 \tag{02} \end{equation}$$ Esto significa que el marco $\mathrm{S}$ debe moverse con velocidad $\mathbf{v}$ tal que su proyección $\mathbf{v}_{\Vert}$ en el intervalo espacial $\Delta\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}$ satisface

$$\begin{equation} \Vert \mathbf{v}_{\Vert}\Vert =\dfrac{c^{2}}{\left\Vert\dfrac{\Delta\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}}{\Delta t^{\boldsymbol{\prime}}} \right\Vert} (<c) \tag{03} \end{equation}$$

Por tanto, existe un número infinito de velocidades.

Una elección paralela a $\Delta\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}$ es

$$\begin{equation} I > 0 :\quad \mathbf{v}=\dfrac{c^{2}}{\left\Vert\dfrac{\Delta\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}}{‌​\Delta t^{\boldsymbol{\prime}}} \right\Vert^{2}}\dfrac{\Delta\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}}{\Delta t^{\boldsymbol{\prime}}}\,, \quad \Vert \mathbf{v}\Vert =\dfrac{c^{2}}{\left\Vert\dfrac{\Delta\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}}{\Delta t^{\boldsymbol{\prime}}} \right\Vert} < c \tag{04} \end{equation}$$

Para una versión en 3D de Figura 3D

Answer 4

Dicho de otro modo, basta con definir el $x$ -como el que los separa espacialmente, de modo que ambos se sitúan a lo largo de la recta $y=0,z=0$ . Usted cree que uno ocurrió en $x=0, w=0$ (donde $w=ct$ ) y el otro ocurrió en $x=\xi,w=\tau$ para $\tau < \xi.$ Si refuerza con $\beta = \tau/\xi$ entonces usted encontrará que la transformación de Lorentz se parece: $$w' = \gamma~(w - \beta~x) = \gamma~(\tau - \frac\tau\xi~\xi) = \gamma~0 = 0,$$ y ambos eventos serán simultáneos. La distancia adecuada entre ellos es entonces, por supuesto $$x' = \gamma~(x - \beta~w) = \frac{\xi~(1 - \beta^2)}{\sqrt{1-\beta^2}} = \xi\sqrt{1 - \beta^2}=\sqrt{\xi^2-\tau^2},$$ como debe ser para dejar invariante el intervalo.

Por lo tanto, la dirección es básicamente "de la del pasado hacia la del futuro".

Una buena manera de entender la relatividad es que, al acelerar, los relojes que van delante se adelantan proporcionalmente a la aceleración y a la distancia, y los relojes que van detrás se atrasan. Esto aclara bastante la "dirección"; hay muchas direcciones entre las que elegir, pero la más sencilla es ir en la dirección del suceso anterior al posterior. Imagina dos relojes que están sincronizados en el marco de referencia en el que quieres estar en estos dos lugares distantes, ambos cuentan hacia atrás hasta "0" en sus respectivos eventos: en el marco de referencia en el que no están sincronizados entonces el reloj del evento anterior podría estar en "200 s" mientras que el reloj del evento posterior podría estar en "300 s", necesitamos hacer que el reloj del evento posterior marque más rápido mientras que el del evento anterior marque más lento.

Answer 5

Dados un par de sucesos relacionados espacialmente, existen infinitos marcos de referencia en los que parecen ser simultáneos (con diferentes velocidades con respecto a un marco de referencia inicial dado). A continuación elegiré el más sencillo.

(Yo uso $c=1$ .) Sea ${\bf e}_x$ y ${\bf e}_t$ sean los vectores unitarios tangentes a $x$ y el eje $t$ eje del marco de referencia $S$ .

Supongamos que los dos acontecimientos considerados $A$ y $B$ están a lo largo de $x$ en tiempos y espacios diferentes (con una rotación espacial siempre podemos obtener esta configuración).

$\bar{S}$ denota en adelante el sistema de referencia en el que $A$ y $B$ son simultáneos.

Considere la como en el espacio vector $${\bf V}:=(t_A-t_B) {\bf e}_t + (x_A-x_B) {\bf e}_x\:.$$ Este vector se encuentra en el espacio 3 de reposo de $\bar{S}$ y así es normal al eje temporal ${\bf e}'_t$ del sistema de referencia $\bar{S}$ .

En otras palabras ${\bf e}'_t$ puede ser paralelo o antiparalelo al como el tiempo vector $${\bf E} = (t_A-t_B) {\bf e}_x + (x_A-x_B) {\bf e}_t$$ desde $$\eta({\bf E},{\bf V}) = -(t_A-t_B) (x_A-x_B) + (x_A-x_B) (t_A-t_B)=0\:.$$

En realidad ${\bf e}'_t$ también puede tener componentes a lo largo de ${\bf e}_y$ y ${\bf e}_z$ y no hay forma de arreglarlos. La opción más sencilla es asumir que estos componentes desaparecen.

${\bf e}'_t$ se dirige al futuro como debido si y sólo el ${\bf e}_t$ componente de ${\bf e}'_t$ es positivo . En resumen, con la elección hecha para ${\bf e}'_t$ , $${\bf e}'_t = \frac{(t_A-t_B) {\bf e}_x + (x_A-x_B) {\bf e}_t}{\sqrt{(x_A-x_B)^2 - (t_A-t_B)^2}}\quad \mbox{if $ x_A-x_B>0 $}$$ $${\bf e}'_t = \frac{-(t_A-t_B) {\bf e}_x -(x_A-x_B) {\bf e}_t}{\sqrt{(x_A-x_B)^2 - (t_A-t_B)^2}}\quad \mbox{if $ x_A-x_B<0 $}$$ El componente espacial de ${\bf e}'_t$ es la dirección de la velocidad de $\bar{S}$ con respecto a $S$ :

Si $x_A-x_B>0$ entonces la velocidad es paralela a ${\bf e}_x$ si $t_A>t_B$ de lo contrario es antiparalelo.

Si $x_A-x_B<0$ entonces la velocidad es paralela a ${\bf e}_x$ si $t_A<t_B$ de lo contrario es antiparalelo.