Infinito producto con potencias de 2

Question

Tengo el siguiente infinita producto:

$2/1 * 3/2 * 5/4 * 9/8 * 17/16 * 33/32 * 65/64...$

Lo que hace converger?

Puedo tomar su $\ln()$ para obtener

$\ln(2) + \ln(3/2) + \ln(5/4)....$

Que mediante el cociente de la diferencia de la regla resuelve

$S(n) = \ln(2^n + 1) - n\ln(2)$ $n = 0$ $\infty$

En este momento no sé cómo evaluar esta: así que tomó sus derivados para ver si podía reconocer nada:

$S'(n) = 2^n * ln(2) / (2^n + 1) - ln(2)$

Lo que realmente parece que converge a 0...

La integración de $S(n)$ no ha habido mucho que hacer uso menos porque me falta conocimiento.

¿Qué es eso de salir?

Answer 1

Colocar el primer término por un momento.

$$ \frac{3}{2}\frac{5}{4}\cdots\frac{2^k+1}{2^k}\cdots = \prod_{k=1}^{\infty} (1 + \frac{1}{2^k}) $$

Cuando el producto se expande, ¿cuál es el coeficiente de $\frac{1}{2^n}$? Un término que proviene de cualquier número de los distintos factores de la forma $\frac1{2^k}$. Y así, cada partición

$$ n = k_1 + k_2 + \cdots + k_m $$

ofrece una duración de la $\frac{1}{2^n}$. Así, el producto es:

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{q(n)}{2^n} $$

donde $q(n)$ es el número de particiones de $n$ en distintos números enteros. No creo que este tiene una forma cerrada.

Answer 2

4.768462058062755

Según Wolfram Alpha. Buscar que allí se explica.