Pido disculpas si me falta algo en mi pregunta o si mi pregunta parece trivial; es mi primera pregunta en este sitio. Como motivación para mi pregunta, considere la siguiente pregunta estándar de cálculo de primer año.
Consideremos esta función a trozos: $ f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} ax^2+b & \text{ if } x \le-2\\ 12x-5 & \text{ if } x >-2 \end{array} \right. $
¿Para qué valores de $a$ y $b$ se $f(x)$ ser diferenciable?
Para resolver esta cuestión, me gustaría proponer el siguiente teorema:
$\mathbf{Theorem:}$ Una función $f(x)$ es diferenciable si $f'(x)$ es continua.
Si este teorema es cierto, entonces puedo resolver para $a$ primero señalando que: $ f'(x) = \left\{ \begin{array}{lr} 2ax & \text{ if } x \le-2\\ 12 & \text{ if } x >-2 \end{array} \right. $
Por lo tanto, ya que por mi teorema $f'(x)$ debe ser continua, tenemos:
$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow -2^-}f'(x) &= \lim_{x \rightarrow -2^+}f'(x)\\ \lim_{x \rightarrow -2^-}2ax &= \lim_{x \rightarrow -2^+}12\\ 2a(-2) &= 12\\ -4a &= 12 \\ a &= -3 \\ \end{align*}$$
Por lo tanto, como la diferenciabilidad implica continuidad, podemos resolver para $b$ de la siguiente manera:
$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow -2^-}f(x) &= \lim_{x \rightarrow -2^+}f(x)\\ \lim_{x \rightarrow -2^-}-3x^2+b &= \lim_{x \rightarrow -2^+}12x-5\\ -3(-2)^2+b &= 12(-2)-5\\ b-12 &= -29\\ b &= -17 \\ \end{align*}$$
para que nuestra función diferenciable sea:
$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} -3x^2-17 & \text{ if } x \le-2\\ 12x-5 & \text{ if } x >-2 \end{array} \right. $$
De todos modos. Mi pregunta es: ¿Es mi propuesta de teorema realmente una cosa? He mirado en mi libro de texto de cálculo y no parece que lo diga explícitamente, pero no sé cómo resolver esta cuestión de otra manera. Si este teorema resulta ser falso, ¿de qué otra manera se puede resolver este problema? Gracias de antemano. =]