8 votos

Condiciones necesarias y suficientes para la diferenciabilidad.

Pido disculpas si me falta algo en mi pregunta o si mi pregunta parece trivial; es mi primera pregunta en este sitio. Como motivación para mi pregunta, considere la siguiente pregunta estándar de cálculo de primer año.

Consideremos esta función a trozos: $ f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} ax^2+b & \text{ if } x \le-2\\ 12x-5 & \text{ if } x >-2 \end{array} \right. $

¿Para qué valores de $a$ y $b$ se $f(x)$ ser diferenciable?

Para resolver esta cuestión, me gustaría proponer el siguiente teorema:

$\mathbf{Theorem:}$ Una función $f(x)$ es diferenciable si $f'(x)$ es continua.

Si este teorema es cierto, entonces puedo resolver para $a$ primero señalando que: $ f'(x) = \left\{ \begin{array}{lr} 2ax & \text{ if } x \le-2\\ 12 & \text{ if } x >-2 \end{array} \right. $

Por lo tanto, ya que por mi teorema $f'(x)$ debe ser continua, tenemos:

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow -2^-}f'(x) &= \lim_{x \rightarrow -2^+}f'(x)\\ \lim_{x \rightarrow -2^-}2ax &= \lim_{x \rightarrow -2^+}12\\ 2a(-2) &= 12\\ -4a &= 12 \\ a &= -3 \\ \end{align*}$$

Por lo tanto, como la diferenciabilidad implica continuidad, podemos resolver para $b$ de la siguiente manera:

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow -2^-}f(x) &= \lim_{x \rightarrow -2^+}f(x)\\ \lim_{x \rightarrow -2^-}-3x^2+b &= \lim_{x \rightarrow -2^+}12x-5\\ -3(-2)^2+b &= 12(-2)-5\\ b-12 &= -29\\ b &= -17 \\ \end{align*}$$

para que nuestra función diferenciable sea:

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} -3x^2-17 & \text{ if } x \le-2\\ 12x-5 & \text{ if } x >-2 \end{array} \right. $$

De todos modos. Mi pregunta es: ¿Es mi propuesta de teorema realmente una cosa? He mirado en mi libro de texto de cálculo y no parece que lo diga explícitamente, pero no sé cómo resolver esta cuestión de otra manera. Si este teorema resulta ser falso, ¿de qué otra manera se puede resolver este problema? Gracias de antemano. =]

5voto

user54692 Puntos 706

Dejar $f(x)= \begin{cases} x^2\sin(\frac 1 x), & \mbox{if } x \not= 0 \\0 & \mbox{if } x=0 \end{cases}$ es continua pero tiene una derivada discontinua. Comprueba la continuidad de $f'(x)$ en $x=0$ .

4voto

jkn Puntos 2776

No lo es. Una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es diferenciable si

$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

existe para todos los $x\in\mathbb{R}$ . Si $f'$ es continua, $f$ se dice que continuamente diferenciable (o de la clase $\mathcal{C}^1$ ). Por lo tanto, para resolver el problema hay que elegir $a$ y $b$ tal que el límite existe para cualquier $x\in\mathbb{R}$ . Obsérvese también que para $f$ sea diferenciable, $f$ debe ser continua.

Por cierto, bienvenido a stackexchange matemáticas y yo no me preocuparía por hacer una "pregunta trivial": tu pregunta está bien escrita y, a menudo, las preguntas sólo son triviales si ya has visto la respuesta.

3voto

zrbecker Puntos 2360

Para que esa función sea diferenciable se necesita $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$ de existir.

El único punto en el que ocurre algo "raro" es en el -2. Por lo tanto, sólo tenemos que encontrar $a, b$ tal que $$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(-2 + h) - f(-2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(-2 + h) - f(-2)}{h}$$

El lado derecho es simplemente $-4a$ utilizando las reglas regulares de las derivadas. La rareza ocurre al otro lado del límite.

$$\lim_{h \to 0^-} \frac{12(-2 + h) - 5- (4a + b)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-29 - 4a -b + 12h}{h}$$

Para que este límite exista necesitamos $-29 -4a -b = 0$ . De lo contrario, el límite será $-\infty$ o $+\infty$ . Una vez que tenemos $-29 -4a -b = 0$ obtenemos $$\lim_{h \to 0^-} \frac{-29 - 4a -b + 12h}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{12h}{h} = 12.$$

Como necesitamos que el límite izquierdo y el derecho sean iguales, obtenemos $-4a = 12$ . Así, $a = -3$ . Entonces resolviendo para $b$ tenemos $-29 + 12 - b = 0$ Así que $b = -17$ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X