Es toda la normativa espacio interior espacio del producto?

Question

1) yo sé que todos los interiores espacio del producto, es también una normativa espacio con la norma inducir por el producto escalar, pero es el recíproco es cierto ? Quiero decir, es toda la normativa espacio también un producto interior el espacio ?

2) yo sé que toda la normativa espacio es un espacio métrico con la métrica inducida por la norma. Es el recíproco es cierto ? Quiero decir, es todo espacio métrico también una normativa espacio ?

Answer 1

#1: No. Normas que son inducidas por el interior de los productos son exactamente las mismas que la satisfacción de la "ley del paralelogramo": $2 \| x \|^2 + 2 \| y \|^2 = \| x+y \|^2 + \| x-y \|^2$. En este caso usted tiene un producto interior definido por la "polarización de la identidad" $\langle x,y \rangle = \frac{1}{4} \left ( \| x+y \|^2 - \| x - y \|^2 \right )$ (con un pequeño cambio en el caso complejo). Dos normas en $\mathbb{R}^n$ $n>1$ que no tienen esta propiedad son las $1$ norma, $\| x \|_1=\sum_{i=1}^n |x_i|$, y el $\infty$ norma, $\| x \|_\infty = \max_i |x_i|$.

#2: No, hay muchas métricas espacios que no están normativa espacios. Muchos de estos no son, incluso, espacios vectoriales, pero incluso podemos equipar espacios vectoriales con las métricas que no son compatibles con las normas (en el sentido de que no hay ninguna norma que $\| x \|=d(x,0)$). Por ejemplo, si queremos equipar a cualquier espacio vectorial con la dimensión positiva con la métrica discreta, a continuación, la homogeneidad de la propiedad de la norma infringida: si $x \neq 0,\alpha \neq 0,|\alpha| \neq 1$,$d(\alpha x,0)=d(x,0)=1 \neq |\alpha|$.

Answer 2

La respuesta es no a ambas preguntas.

Para la primera, cualquier norma inducida por un producto interior debe satisfacer la identidad $$2\lVert u\rVert^2 + 2\lVert v\rVert^2 = \lVert u + v\rVert^2 + \lVert u - v\rVert^2;$$ pero algunas normas no satisfacen este, y por lo tanto no provienen de un producto interior. Por ejemplo, el supremum de la norma en $\Bbb R^2$ no satisface la identidad : $$2\|(1,0)\|_\infty^2+2\|(0,1)\|^2_\infty=4\neq \|(1,1)\|_\infty^2+\|(1,-1)\|_\infty^2=2.$$ Sin embargo, cualquier norma que satisface la identidad viene del interior del producto; véase esta cuestión.

Para el segundo, tenga en cuenta que el espacio métrico no son aún necesarias para ser espacios vectoriales, por ejemplo, el conjunto de $\{1,\ldots,10\}$ equipada con la métrica $d(x,y)=|x-y|$ no es una normativa espacio. También puede considerar la posibilidad de cualquier conjunto con su discreta métrica.

Answer 3

Una norma es inducida b yan producto interior fib cumple con la ley paralellogram

$$2||u||^2 + 2||v||^2 = ||u -v||^2 + ||u+v||^2$$

Y, por ejemplo, el supremum de la norma en $\mathbb{R}^2$ ya no este.

Incluso si tenemos una métrica topológica espacio vectorial con una traducción métrica invariante $(V,d)$ que, además, se completa (el llamado espacio de Fréchet), por lo que hemos de compatibilidad con el lineal de operaciones, $d$ no necesita ser inducida por una norma.

Una normativa espacio tiene la propiedad de que cada abierto de vecindad $U$ $0$ es limitada (en el sentido de que $\forall x, \exists t \in \mathbb{R}: tx \in U$, mientras que esto no funciona para muchos espacios de Fréchet como $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. El $\ell^p$ espacios para $0 < p < 1$ fallar normability así que, por otras razones (no localmente convexo), aunque tienen una buena estructura métrica.