¿Qué es este ciclo en el jacobiano de una curva?

Question

Deje $C$ ser una curva y $J$ es Jacobiana. No es el estándar de Abel-Jacobi mapa de $a:C\rightarrow J$ el cual es dado por $Q\rightarrow Q-P$ para un punto fijo $P$ (aquí estoy con respecto a $J$ como los divisores de grado 0 hasta equivalencia en $C$). Deje que la imagen de este mapa en $Ch_1(J)$ se denota como [C.]

En lugar de la estándar de Abel-Jacobi mapa, estoy interesado en la "duplicación". Considerar el mapa de $b:C\rightarrow J$ $Q\rightarrow 2Q-2P.$ Aviso que este mapa se plantea como la composición de la $$C\rightarrow J\times J\rightarrow J$$

donde el primer mapa es sólo $a$ en cada componente y el segundo mapa es la multiplicación. Podemos denotar la imagen de $b$ por el ciclo de $[W]$ .

Pregunta: Es $[C]\sim [W]$ en el anillo de chow?

No tengo una razón para creer que esto es cierto, pero como un estudiante que es bastante nuevo para trabajar con ciclos, sería bueno ver un argumento o contraejemplo.

Gracias!

Answer 1

Por definición de diferencial tenemos que $4^g[W]=f*[C]$, donde $f$ denota que la multiplicación por 2 y $g$ de isogeny es el género de $C$. Ahora, al menos $\mathbb{C}$, se sabe que $(C\cdot\Theta)=g$, donde $\Theta$ es un divisor de theta simétrico de $J$ (yo no he usado simetría todavía). Por la fórmula de proyección, $$f[C]\cdot[\Theta]=f_([C]\cdot f^[\Theta])=f_([C]\cdot[4\Theta])=4f*([C]\cdot[\Theta]),$ $ y así $\deg(f[C]\cdot[\Theta])=g4^{g+1}$. Si $[W]=[C]$ y $$g4^{g+1}=\deg(f_[C]\cdot[\Theta])=g4^g,$ $ una contradicción.