Supongamos que tengo un círculo de $C$ $\Bbb C^*$ y dos puntos de $w_1,w_2$. Otro círculo de $C'$ y puntos de $z_1,z_2$, ¿cuál es el procedimiento para encontrar una transformación de Möbius que envía $C\to C'$, $w_i\to z_i,i=1,2$? Aquí $z_1\in C\not\ni z_2$; $w_1\in C'\not\ni w_2$. Por ejemplo, tomar $|z|=2$, $w_1=-2,w_2=0$. Entonces, la transformación de $T(z)=-\dfrac{z+2}{2}$ envía $|z|=2$ a $|z+1|=1$, $-2$ a $0$, e $0$$-1$. Por lo tanto, necesito encontrar una transformación que corrige $|z+1|=1$$0$, y envía a$-1$$i$. Sé que si $|\alpha|\neq 1$, la transformación $$T(z)=\frac{z-\alpha}{1-z\bar \alpha}$$ fixes $|z|=1$, sends $\alpha$ to $0$ and has fixed points $\sqrt{\dfrac{\alpha}{\bar\alpha}}$. I obtained $T$ using $4$ successive transformations $T_1=-(z+2)$, $T_2=\dfrac{z}{z+2}$, $T_3=-z$ and $T_4=-\dfrac{z}{z+1}$, which seems a bit ineffective. How can I generally find $T$ given $(C,C',(z_1,z_2),(w_1,w_2))$?
Respuestas
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En primer lugar, tomar una transformación de Möbius $\phi$ que se lleva a $C$$\mathbb R$$z_1$%#%. Esta $i$ siempre existe de forma exclusiva, a condición de $\phi$; no es demasiado duro para trazar un círculo en el eje real, y la transforma la fijación del eje real son fáciles de clasificar. Deje $z_1\notin C$ ser el mapa correspondiente para$\psi$$C'$.
Ahora $w_1$ mapas de $T=\psi^{-1}\circ\phi$$C$$C'$%#%. Si existe otra transformación de Möbius $z_1$ con esta propiedad, a continuación, $w_1$ es una transformación de Möbius fijación del eje real y $g$, lo $\psi\circ g\circ\phi^{-1}$ es la identidad y por tanto $i$.
Es decir, los datos de $\psi\circ g\circ\phi^{-1}$ únicamente determina la asignación $g=T$ (asumiendo $(C,C',z_1,w_1)$$T$). Por lo tanto, su problema es sobredeterminada, y tiene una solución si y sólo si $z_1\notin C$. Una manera fácil de ver que algunas condiciones se necesita es ver que si $w_1\notin C'$ es el reflejo de $\phi(z_2)=\psi(w_2)$ través $z_1$, la misma que tiene que llevar a cabo para $z_2$, $C$ y $w_1$, o que si los puntos de $w_2$ están en el mismo lado de la $C'$, los puntos de $z_i$ no pueden estar en diferentes lados de $C$.
El método anterior da un camino para la construcción de $w_i$ en términos de dos Möbius se transforma. Este método es suficiente para usted?
Cada instancia del problema implica un montón de datos, por el que aún no han indicado en formato reciben los dos círculos. Se deduce que no existe ninguna solución sencilla "uno fórmula adapta a todo". Dada una instancia del problema uno puede reducir al caso especial $z_1=w_1=0$, $z_2=w_2=\infty$. La transformación de Moebius que está pidiendo es una semejanza euclidiana $$z\mapsto w=a z,\qquad a\in{\mathbb C}^*\ .$ $ existe sólo si los dos círculos están en "posiciones similares" en relación con el origen.
