$M_n(D)$ tiene solamente finito muchos ideales de la derecha si y sólo si $n = 1$ $D$ es finito.

Question

<blockquote> <p>Que $D$ ser un anillo de división. Luego demostrar que $R = M_n(D)$ tiene solamente finito muchos ideales de la derecha si y sólo si $n = 1$ $D$ es finito.</p> </blockquote> <p>Sé que los ideales de $M_n(D)$ son de la forma $M_n(I)$, donde $I$ es un ideal de $D$. Así que hay sólo $2$ opciones posibles que son % o $0$ $M_n(D)$desde $D$ tiene sólo $0$ y $D$ como ideales. ¿Cómo ven la condición % o $n = 1$ $D$es finito tienen lugar?</p>

Answer 1

Es bastante obvio que si $n=1$ o $D$ es finito, entonces $M_n(D)$ tiene sólo un número finito de derecho ideales.

En el otro sentido asumo $n=2$ y deja la generalización para el lector, la prueba es un poco como demostrando que hay una infinidad de $1$-dimensiones de los subespacios de un avión.

El primer paso es ver que $$M_2(D)=\{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}|a,b\in D\}\oplus \{\begin{pmatrix}0&0\\c&d\end{pmatrix}|c,d\in D\},$$ donde los dos sumandos son derecho ideales que no contienen ningún no-trivial derecho propio ideales (es decir, no son simples).

Ahora uno puede pensar en esto como $S^2$ y tratar de encontrar a la derecha de los ideales, como uno intenta encontrar las líneas en el plano.

Yo reclamo que $I(\lambda):=\{\begin{pmatrix}a&b\\\lambda a&\lambda b\end{pmatrix}|a,b\in D\}$ es un derecho ideal. En efecto: $$\begin{pmatrix}a&b\\\lambda a&\lambda b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\alpha+b\gamma &a\beta+b\delta\\\lambda(a\alpha+b\gamma) &\lambda(a\beta+b\delta)\end{pmatrix}$$ Ahora estos son infinidad de derecho ideales si $D$ es infinito (Esto tiene que ser comprobado, pero este es un directo de cálculo suponiendo que hay un elemento en ambos).