A menudo veo que la notación/redacción de "vamos a $f(x)$ ser una función continua" o "vamos a $f(x) \in C^0(\mathbb{R})$".
Yo diría que $\sin$ $x \mapsto \sin(x)$ son funciones, mientras que $\sin(x)$ es un número real.
Hay correcto o mejores prácticas en este sentido?
La expresión "vamos a $f(x) \in C^0(\mathbb{R})$..." es muy descuidado. Por supuesto no llevar a confusión, pero no es algo que se dijo para la corrección. Idealmente, cada vez que te ve $f(x)$ debe ser porque nos preocupamos de lo $f$'s valores en lugar de $f$ en y de sí mismo como un miembro de algún espacio de funciones.
Oh, y su ejemplo de "$x \to sin(x)$" IMO mejor escrito como "$\mathbb{R} \owns x \mapsto \sin x \in \mathbb{R}$. Obviamente no es tan útil para esta función en particular, pero muy inteligente para cosas como "$V \times V \owns (x,y) \mapsto \langle x,y \rangle \in \mathbb{C}$".
Estás en lo correcto. Propiamente hablando, se llama a la función sólo $f$, y su valor en el punto de $x$ se denota por a $f(x)$. Hablando de "la función de $f(x)$" es lo que los matemáticos llaman "abuso de notación", pero es de curso muy práctico.
(Por cierto, por lo general se escribe $x \mapsto \sin x$, no$x \to \sin x$; "\mapsto" en TeX.)
Tiene usted toda la razón: $f$, de por sí, debe denotar una función, $f(x)$ por sí debe denotar el elemento en el codominio de $f$ (en este caso, el número real) que se produce cuando se evalúe $f$ sobre el elemento $x$ de su dominio, donde el $x$ debe previamente han sido definidos.
Sin embargo, esta regla es honrado como mucho en la infracción como de la observancia: hay muchas situaciones en las que es conveniente romper. Cuando la definición de una función mediante una fórmula, es difícil evitar una variable ficticia, y lo que a uno le gusta decir "vamos a $f(x)=e^{-x}$" en lugar de la más correcto, pero torpe "vamos a $f$ ser la función de $x \mapsto e^{-x}$". En en particular, con las funciones que tienen multi-carta de símbolos como $\sin$, Me parece que la gente en general prefiere evitar escribir sin un argumento como $\sin x$. A uno no le gusta hablar de $\sin$ como la función en sí misma, así que en lugar de escribir algo así como $\pecado" = -\el pecado$, one would rather say "if $f(x)=\sin x$, then $f" = -f$".
Una alternativa a una variable ficticia que se utiliza a veces es un punto: $\cdot$. A veces la gente escribe "vamos a $f=g(\cdot + 5)$" para evitar la menos correcto "vamos a $f(x)=g(x+5)$".
Cuando se trabaja con funciones de varias variables, uso de chupete variables a menudo ayuda a mantener un seguimiento de qué variable es la que. Uno a menudo escribe algo como: "vamos a $u(x,t)$ ser una solución de la calor ecuación $\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$". Of course, one is really talking about the function $u$ y no cualquier número real de la forma $u(x,t)$, pero ser mucho más difícil de escribir de otra manera. También recuerda que el primer argumento de $u$ debe ser interepreted como el espacio y el segundo uno como el tiempo.
En resumen: los matemáticos no son los compiladores. Escrito matemáticas algunas reglas de sintaxis, pero no son bastante duro y rápido, y no necesita ser seguido a expensas de la claridad.
Diciendo que $f$ o $x\mapsto f(x)$ es la función en lugar de $f(x)$ es la más común la perspectiva moderna de las matemáticas superiores. Incluso he visto un libro de precálculo que subraya que $f$ es una función, mientras que la $f(x)$ es un valor de la función. La notación $f(x)$ para denotar una función permanece porque es a menudo más conveniente, y es especialmente prominente de la escuela secundaria de matemáticas hasta el cálculo porque psicológicamente es más fácil acostumbrarse. Esto puede conducir a la ambigüedad, porque en cualquier caso $f(x)$ a veces hace referencia a un valor de la función, pero la más estricta lógica de la corrección de la notación no es para todos, o para todas las situaciones.
Me resulta desagradable cuando leí las matemáticas que fue escrito hace muchas décadas y venir a través de algo como, "Vamos a $\varphi(x)$ ser un delimitada lineal funcional en $X$....". Creo que a mí mismo, "No, $\varphi$ funcional!" Entonces me tome una respiración profunda y relajarse, y encontrar que esta notación no obstaculizar los autores de hacer y escribir un gran matemáticas.
Ahlfors del análisis complejo de texto tiene una nota de pie de página en la página 21 de la 2ª edición, 1966:
Moderna, los alumnos son conscientes de que el $f$ representa la función y $f(z)$ para un valor de la función. Sin embargo, los analistas están tradicionalmente mente y seguir hablando de "la función de $f(z)$."
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