¿Qué valores $p,q$ hace el $\int_0^1 x^p (1-x^2)^q dx$ de la integral impropia converge?

Question

Pregunta:

¿Qué valores $p,q$ hace el $\int_0^1 x^p (1-x^2)^q dx$ de la integral impropia converge?

Estoy luchando como no estoy seguro de dónde empezar. ¿Cuál es la mejor manera de abordar esta cuestión?

Answer 1

Conjunto de $x=\sin(t)$. Entonces obtenemos la integral como $$\int_0^{\pi/2}\sin^p(t)\cos^{2q}(t)\cos(t)dt = \int_0^{\pi/2}\sin^p(t)\cos^{2q+1}(t)dt=\dfrac12\beta((p+1)/2,q+1)$ $ que existe cuando $(p+1)/2>0$ y $q+1>0$, es decir, $p,q>-1$.