A menudo me he preguntado por qué parece interno productos Utilice exclusivamente $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ para el campo de la base de su espacio del vector, o subcampos como los números algebraicos o capaz de construir. Según Wikipedia, estos son los únicos campos que podemos utilizar que tienen las propiedades de la derecha. ¿Por qué? ¿Por qué no utilizar los campos de otros, más extraños, más complicados? Lo que se rompe si lo hacemos y hay una generalización significativa? ¿Lo que dice sobre el producto interno que estas restricciones?
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John Hughes
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Los comentarios de señalar es que su hipótesis original no es realmente correcto (aunque los reales y los complejos son muy comunes las opciones).
Una cosa que a menudo se quiere es que el campo no tiene la característica de dos.
Si lo hace, la relación entre "el cuadrado de la distancia" (con lo que quiero decir $\| v \|^2 = v \cdot v$) y producto interior algo va mal: ya no se pueden recuperar del producto interior desde la distancia a través de la polarización de la identidad, que se lee (en dos formas): $$ \| x+y \|^2 = \| x\|^2 + x 2 \cdot y + \|s\|^2 \\ \frac{1}{2}\left( \| x+y \|^2 - \| x\|^2 - \|s\|^2 \right) = x \cdot y $$ La recuperación del producto interior desde la distancia que requiere dividir por $2$, lo cual no es posible en el carácter $2$. (Este peculiar molestia, por entero cuadráticas formas, lleva toda una interesante sendero con algo llamado la Ira de todos los idiomas, lo que realmente importa en la topología de 4-variedades, y quizás $4k$-colectores de...que ha pasado tanto tiempo que ahora he olvidado.)
Bob
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Si el campo es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ tiene la estructura de orden de $\mathbb{R}$ a su disposición: directamente si usted consigue $\mathbb{R}$ o mediante la exigencia de que el producto es realmente hermitian en el caso de $\mathbb{C}$.
Esto te permite probar de Cauchy-Schwarz desigualdad (que no tienen nada similar en el contexto de un campo genérico), y luego se sigue que $||x||:={\langle x,x\rangle}^{1/2}$ es en realidad una norma así, si definimos $d(x,y):=||x-y||$, usted tiene un (homogénea y traducción invariante) métrico a su disposición en su inicial espacio vectorial que permite el uso de los instrumentos de espacios métricos.
Esta no es toda la historia: el uso de ortogonalidad (que puede indicar también en el caso de un campo genérico) y el hecho de que usted tiene una orden de la estructura (y ahora lo que necesita $\mathbb{R}$ o, gracias a la hermitian truco, $\mathbb{C}$) se puede demostrar la desigualdad de Bessel, que permite, por ejemplo, para demostrar de Riemann-Lebesgue lema. También, si usted requiere la integridad de la métrica, lo que se obtiene a partir de la desigualdad de Bessel es que, debido a un arbitrario ortonormales establecer, para cada elemento del espacio, de la correspondiente serie de Fourier es la norma convergente y, si el ortonormales conjunto es realmente completa, esta serie converge en norma para el elemento que origina: tienes la identidad de Parseval. Entonces usted tiene la maquinaria de la serie de Fourier a tu disposición.
Una nota final: usted puede preguntarse por qué no usar simplemente un orden de campo en este punto. De hecho, también en este caso, se obtiene tanto de una forma generalizada de Cauchy-Schwarz y la desigualdad de Bessel. Sin embargo, ahora un problema emergente: si su pedido de campo no haya la menor cota superior de la propiedad, usted no puede conseguir sólo a partir de la desigualdad de Bessel de la convergencia de la serie de Fourier. Así, debido a que no existe (hasta isomorphisms) sólo sólo una ordenó campo que tiene la menor cota superior de la propiedad (es decir,$\mathbb{R}$), básicamente, usted tiene que la serie de Fourier de la maquinaria funciona sólo si su pedido de campo es $\mathbb{R}$.
