Secuencias exactas cortas y finito dimensión inyectiva

Question

Decir que $0 \to M \to N \to L \to 0$ es una secuencia exacta corta de los módulos en un anillo local noetheriano y que % dim inj $(M)$, inj dim $(N)

Sé que las dimensiones inyectiva de $M$ y $N$ son los mismos, y sé que hay un mapa complejo entre ellos por el teorema de comparación, pero me pegué allí.

Answer 1

Sí, la secuencia exacta corta $0\to M\to N\to L\to 0$ da la secuencia larga exacta $\cdots\to \mathrm{Ext}^i(A,M)\to \mathrm{Ext}^i(A,N)\to \mathrm{Ext}^i(A,L)\to \mathrm{Ext}^{i+1}(A,M)\to\cdots$. Esto no necesita el anillo noetheriano o local y también muestra que si dos de los tres tienen dimensión finita inyectiva, la tercera lo hace así.