El recuerdo de Burke teorema de que en equilibrio, el proceso de partida de una $M/M/c$ cola es un proceso de Poisson con la misma velocidad que el proceso de llegada. Desde Poisson procesos están cerradas en virtud de la fusión y la escisión, es claro que una acíclicos Jackson red ha de Poisson de llegada y salida de los procesos en cada cola.
Cuando no hay retroalimentación, este no es el caso. Un ejemplo sencillo es una red con un único nodo. Deje que el exógena de llegada del proceso de Poisson con tasa de $\alpha$, la tasa de servicio $\mu$, y la probabilidad de que un cliente de terminar el servicio vuelve a la cola $p$. A continuación, la red de llegada a la cola de $\lambda$ satisface en equilibrio $$\lambda = \alpha + p\lambda,$$ so that $\lambda=\frac\alpha{1-p}.$ (Assume that $\frac\alpha{(1-p)\mu}<1$ so the system is stable.) However, the net arrival process depends on the queue length. Conditioned on $N(t)=0$, the time until the next arrival is $\mathsf{Exp}(\lambda)$-distributed. Conditioned on $N(t)=n$, let $T$ be the time until the next exogenous arrival, $S_i$ the service time of the $i^{\mathsf{th}}$ customer in the queue, $B_i\sim\mathsf{Ber}(p)$ equal to one if customer $i$ returns to the queue and zero otherwise, and $\tau=\inf\{i: B_i=1 \}$. A continuación, el tiempo hasta la próxima llegada es
$$\hat T=\min\left\{T, \sum_{i=1}^\tau S_i \right\} $$ (with the convention $\sum_{i=1}^\tau S_i=\infty$ if $\tau=\infty$.) For $n=1$, tenemos \begin{align}\mathbb E[\hat T] &= (1-p)\mathbb E[T] + p\mathbb E[T\wedge S_1]\\
&= \frac{1-p}\alpha + \frac p{\alpha+\mu}\\
&= \frac{(1-p)(\alpha+\mu) + p\alpha}{\alpha+\mu}\\
&= \frac{\alpha+(1-p)\mu}{\alpha+\mu}.
\end{align}
