Si un subconjunto de elementos$10$ cuya suma es 155 se elimina de$\{1,2,...,30\}$, siempre es posible dividir el conjunto restante en partes iguales.

Question

En otras palabras, me gustaría demostrar que, dado el conjunto de $\{1,2,...,30\}$, si se designa a un $10$-elemento subconjunto cuya suma es de 155 (por ejemplo,$\{1,2,3,4,5,26,27,28,29,30\}$), el restante 20 elementos, siempre se puede dividir en dos 10-elemento subconjuntos cuyas sumas son iguales (en nuestro ejemplo, $\{6,8,10,12,14,17,19,21,23,25\}$$\{7,9,11,13,15,16,18,20,22,24\}$).

Hasta ahora todo lo que tengo es que la suma de $1+2+...+30 = 465 = 3\cdot 155$, por lo que los tres subconjuntos en el problema tendrá una suma de $155$. Después de eso, yo no puedo pensar en nada. Podría alguien por favor me dan una pista para empujarme en la dirección correcta? No parece que sea un problema complicado, por lo que sería más que suficiente.

Answer 1

Así que el primer par de los números como $r, 31-r$ y tenga en cuenta que cualquier pareja puede sustituir a cualquier otro, sin el cambio de la suma de un subconjunto.

Se proporciona un conjunto de diez elementos de la adición de a $155$. Considerar la posibilidad de construir un segundo conjunto como compuesto de elementos $31-r$ donde $r$ es en el primer set. La suma de los elementos de ambos es, a continuación,$310=2\times 155$, pero puede haber elementos en el segundo set, que también están en la primera. Mostrar que usted puede utilizar las propiedades de los pares (y que no son suficientes pares) para eliminar duplicados en el segundo set sin cambiar su suma. El resto de elementos que forman el tercer set, tendrá el derecho de la suma (y, por este método, consiste de cinco pares).

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