¿Cuántos componentes conectados se quedan después de quitar una línea del plano?

Question

Deje $A \subseteq \mathbb{R}^2$ ser un subconjunto del plano que es homeomórficos a $\mathbb{R}$. Cómo muchos de los componentes conectados a no $\mathbb{R}^2 \setminus A$?

Mi conjetura es que sólo uno o dos componentes son posibles. Es esto cierto? ¿Cómo puedo demostrarlo?

(Para ver estas opciones son, de hecho, es posible, considere la $A=(0,1) \times \{ 0\}$$A=\mathbb{R} \times \{0\}$).

Actualización: Dice aquí* que el Jordán Brouwer separación teorema implica que un cerrado subconjunto de $\mathbb{R}^n$ homeomórficos a $\mathbb{R}^{n-1}$ desconecta el espacio en dos componentes conectados.

Así, sólo tenemos que considerar el caso en que $A$ no está cerrado en $\mathbb{R}^2$.

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*Aquí es una explicación, después de Stefan Hamcke comentario:

Considerar la homeomorphism $h:\mathbb{R}^{n-1} \to A$. Podemos ver $h$ como un mapa de $\mathbb{R}^{n-1} \to \mathbb{R}^{n}$. Desde $A$ es cerrado (por supuesto) $h$ es un cerrado mapa. Cerrado mapa tiene la propiedad de que la pre-imagen de cada punto es compacto es adecuado (Prueba). El requisito de pre-imágenes está satisfecho aquí trivial, ya que $h$ es inyectiva.

Como un buen mapa, $h$ se extiende hasta el punto de compactifications, por lo que podemos ver como una incrustación $h:\mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^{n}$. Por lo tanto, el teorema de 2B.1 (Hatcher, Topología Algebraica) implica $\mathbb{S}^{n} \setminus h(\mathbb{S}^{n-1})$ tiene dos componentes conectados, que a su vez implica la $\mathbb{R}^n \setminus A$ tiene dos componentes.

Answer 1

Se ha demostrado en

S. Eilenberg, Un teorema de la invariancia de los subconjuntos de a $S^n$. Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 47, (1941). 73-75.

que si $A, B\subset S^n$ son homeomórficos subconjuntos de a $S^n$ (que no necesita ser cerrado), a continuación, el número de componentes conectados de $S^n-A$ $S^n -B$ es el mismo.

De esto se desprende el teorema de, al menos, que un subconjunto acotado de $R^2$ homeomórficos a $R$ no puede separarse $R^2$. Si $R$ está correctamente incrustado en $R^2$ a continuación, se separa de $R$ $2$ componentes (ya que es cerrado). El caso restante, que no acabo de ver cómo es lidiar con al $A\subset R^2$ es homeomórficos a $R$, es ilimitado, pero no está cerrado. Voy a volver a esto cuando tengo más tiempo.

Hay documentos pertinentes por Sitnikov a partir de la década de 1950, donde demuestra la dualidad teoremas generales de subconjuntos de a $S^n$, pero no tengo acceso a ellos.

Edit. Todo lo que realmente funciona, se obtiene, de hecho, una más general resultado:

Teorema. Si $B\subset R^n$ es homeomórficos a $R^{n-1}$, $n\ge 2$, a continuación, cualquiera de $B$ es cerrado y, por lo tanto separa a $R^n$ en dos componentes o $B$ no por separado.

Para probar esto se considera el subconjunto $B'=B\cup \{\infty\}$$S^n= R^n \cup \{\infty\}$. Las propiedades de separación de $B$ $B'$ ($R^n$$S^n$ resp.) son, por supuesto, equivalente. Hay dos casos a considerar: $B'$ es compacto. A continuación, todo lo que sigue desde el Jordán de separación teorema de la $S^n$. Asumir, por lo tanto, que el $B'$ no es compacto. Lo demuestra el siguiente

Lema. $H_{n-1}^c(B', {\mathbb Q})=0$ donde $H_k^c$ denota el Chech homología con soporte compacto, es decir, $$ \lim_K H_k(K, {\mathbb P}) =0, $$ donde la directa límite se toma sobre todos los pactos $K\subset B'$ $H_k$ denota Chech de homología (con coeficientes racionales).

Dado este lema, uno, a continuación, utiliza el Teorema de 8 en

S. Kaplan, la Homología de las propiedades de arbitraria de subconjuntos de Euclídea espacios. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 62, (1947) 248-271.

que es una versión más elaborada de Eilenberg del papel. Aquí $B'$ como es arriba es $S^n - A$ en Kaplan la notación. Al desentrañar lo que este teorema 8 dice en nuestro entorno, es muestra de que si $B'$ no está conectado, a continuación,$H^c_{n-1}(B')\ne 0$, lo que contradice el Lema.