Vamos a definir una clara y sin ambigüedades la terminología (al menos para el ámbito de aplicación de esta respuesta).
Doble mapa de lineal en el mapa (con respecto a los naturales de emparejamiento). Esta definición sólo necesita dos desnudos espacios vectoriales. Es la definición que usted proporcionó.
Deje $V$ $W$ ser espacios vectoriales sobre el mismo campo. Si $f:V\to W$ es lineal en el mapa, a continuación, el doble de $f$ (denotado $f^{\text{d}}$ aquí) es el mapa de $W^{*}\to V^*$ tal que para cualquier $v\in V$ y cualquier $\varphi\in W^{*}$
$$\left(f^{\text{d}}(\varphi)\right)(v) = \varphi(f(v))\tag 1$$
Por lo tanto, $f^{\text{d}}$ también se caracteriza por su acción sobre cualquier $\varphi\in W^{*}$:
$$ \varphi\mapsto \varphi\circ f \tag{1a}$$
El resultado funcional $f^{\text{d}}(\varphi)$ se llama el pullback de $\alpha$ a lo largo de $f$.
Medico adjunto de un lineal mapa (con respecto a la métrica). Para hacer esta definición, necesitamos nuestros espacios vectoriales estar equipado con una métrica de cada uno.
Deje $V$ $W$ ser espacios vectoriales sobre el mismo campo, con métricas de $g$$h$, respectivamente. Si $f: V\to W$ es lineal en el mapa, luego el medico adjunto de $f$ con respecto al $g$ $h$ (denotado $f^{\text{Ad}_{gh}}$ aquí) es el mapa de $W\to V$ tal que para cualquier $v\in V$ cualquier $w\in W$
$$g\left(v,f^{\text{Ad}_{gh}}(w)\right) = h(f(v),w)\tag{2}$$
Transpuesta de una matriz. Es una operación que actúa sobre un arreglo rectangular de números. No lineal de los mapas. Por esto nos referimos a la de la matriz obtenida al intercambiar las filas y columnas de una matriz.
Deje $\mathcal{M}_{m,n}$ ser el espacio de las matrices con $m$ filas y $n$ columnas. Se denota la matriz $A\in\mathcal{m,n}$ por sus entradas de las $A_{ij}$, (donde el primer índice especifica la fila y el segundo la columna). La transposición de $A$ es la matriz $A^{\text{T}}$ definido por
$$(A^{\text{T}})_{ij} = A_{ji}\tag{3}$$
Bien. Hecho. Ahora, ¿por qué tanta confusión?
Para contestar a esta pregunta, vamos a elegir las bases en nuestros espacios vectoriales, y que nos llevará a los componentes de nuestro lineal mapas.
Pero primero, ¿cuáles son los componentes?
Componentes
Decir $\text{dim}(V) = m$$\text{dim}(W) = n$.
Dado un mapa de $\phi:V\to W$ y bases de $\{v_i\}_{i\in\{1,\dots,m\}}$ $V$ $\{w_\mu\}_{\mu\in\{1,\dots,n\}}$ $W$ (elegimos el doble bases de $\{\alpha^i\}_{i\in\{1,\dots,m\}}$$V^{*}$$\{\beta^\mu\}_{\mu\in\{1,\dots,n\}}$$W^{*}$), se definen los componentes de $\phi$ (w.r.t las bases) por
$${\phi^{\mu}}_{i} := \beta^{\mu}(\phi(v_i))$$
del mismo modo, para un mapa de $\psi:W^{*}\to V^{*}$, podemos definir sus componentes (w.r.t. las bases) por
$${\psi_{i}}^{\mu} := [\psi(\beta^{\mu})](v_i)$$
A partir de estas definiciones, y el uso de la identidad que define el dual de un mapa de $(1)$ es evidente que los componentes de mapa de $f:V\to W$ son los mismos que los componentes de su doble $f^{\text{d}}:W^{*}\to V^{*}$.
$${(f^{\text{d}})_{i}}^{\mu} := [f^{\text{d}}(\beta^{\mu})](v_{i}) = \beta^{\mu}(f(v_{i})) =: {f^{\mu}}_{i}$$
Por lo tanto, aquí el problema no es que las definiciones de los números. El problema aparece cuando queremos representar estos conjuntos de números como una matriz.
La confusión
Todo comienza cuando queremos representar nuestros mapas como matrices.
Cuando queremos representar un conjunto de componentes como si se tratara de una matriz, que normalmente se desea que la aplicación de un mapa para ser imitado por la multiplicación de la matriz.
Todos sabemos cómo realizar la multiplicación de la matriz con la "fila-veces-columna mantra".
Nos gustaría que la representación de la matriz de nuestro mapa para actuar por la izquierda en la representación de la matriz de nuestro vector (porque nos gusta: es familiar para nosotros, notationally hablando, ya que escribir $f(v)$). Pero por desgracia esto no siempre es posible. Ya has descubierto esto por sí mismo, pero vamos a hacerlo una vez más:
Decir $\text{dim}(V) = m$$\text{dim}(W) = n$. Considere las siguientes situaciones.
Nota: En el siguiente se denota la matriz representante del conjunto de componentes de un objeto (con respecto a una elección particular de la base) colocando el objeto en el interior de los soportes.
- Tenemos dos vectores $v\in V$, $w\in W$, y un mapa de la $\phi:V\to W$. Queremos escribir la matriz analógica de la asignación de $\boxed{ \phi(v) = w }$. Si queremos mantener el orden de los objetos dentro de la ecuación, nos vemos obligados a representar a $\phi$ $n\times m$ matriz, $v$ $m\times1$ matriz, y $w$ $n\times 1$ matriz, por lo que podemos escribir
$$[\phi][v] = [w]$$
- Tenemos $v\in V$, $\alpha\in V^{*}$ (aunque podríamos hacer lo mismo con $W$$W^{*}$) y $k\in K$ (donde $K$ es el escalar de campo). Queremos escribir la matriz analógica de la natural vinculación $\boxed{ \alpha(v) = k}$ $V$ $V^{*}$ . En el fin de mantener el orden de los objetos, ahora tenemos que representar a $\alpha$ $1\times m$ matriz, $v$ $m\times 1$ matriz, y $k$ $1\times1$ matriz, por lo que la ecuación se convierte en
$$[\alpha][v] = [k]$$
- Tenemos $\beta\in W^{*}$, $\alpha\in V^{*}$ y un mapa de la $\psi:W^{*}\to V^{*}$. (Recuerde que en dimensiones finitas, $\text{dim}(V) = \text{dim}(V^{*})$, y lo mismo para $W$). Queremos escribir la matriz analógica de la asignación de $\boxed{ \psi(\beta) = \alpha }$. Una vez más, queremos mantener el orden de los objetos, así que esta vez se necesita para representar a $\psi$ $m\times n$ matriz, $\beta$ $n\times1$ matriz, y $\alpha$ $m\times1$ matriz. Entonces podemos escribir
$$[\psi][\beta] = [\alpha]$$
Ahora considere el caso en que $\phi = f:V\to W$, e $\psi = f^{\text{d}}:W^{*}\to V^{*}$. Es en esta situación, y no otros, donde la matriz representante de un mapa y la matriz representante de su dual son cada uno la transposición de la otra.
Sin embargo, esto obviamente trae problemas, ya que la representación de $\alpha$ en el segundo caso, es incompatible con su representación en el tercer caso. Es por eso que prácticamente nadie hace lo que hicimos en el caso 3, y en cambio cuando queremos escribir la matriz representante de $f^{\text{d}}$ utilizamos el caracterization dado por la eq. $(1a)$. I. e: decimos que la matriz representante de $f^{\text{d}}:W^{*}\to V^{*}$ es exactamente el mismo que el de la matriz representante de $f:V\to W$, pero en lugar de actuar sobre la izquierda de la matriz representante de $v\in V$, que actúa sobre el derecho de la matriz representante de $\beta\in W^{*}$. (Leer más aquí)
De esta manera, ambos lados de eqn. $(1)$ son representados por la misma operación de matriz, pero con una interpretación diferente en el orden de la multiplicación de la matriz. I. e:
$$\left(f^{\text{d}}(\varphi)\right)(v) = \varphi(f(v))
\\ \equiv \\
\left([\varphi][f^{\text{d}}]\right)[v] = [\varphi]\left([f][v]\right)$$
Donde $[f^{\text{d}}] = [f]$
Conclusión:
No importa si usted elige una base ortonormales o uno arbitrario: la matriz representante de un mapa de $f$ y la matriz representante de su doble $f^{\text{d}}$ son la transposición de uno a otro sólo si usted está dispuesto a utilizar la matriz diferentes representaciones del mismo objeto cuando usted está haciendo distintas operaciones que en ella (y no queremos eso, o al menos yo no puedo pensar en un caso en el que me gustaría).
En cambio, si siempre desea escribir los elementos en $V$ $W$ como vectores columna, y elementos en $W^{*}$ $V^{*}$ siempre como vectores fila, usted necesita para utilizar la misma matriz para representar un mapa y su doble.
Entonces, ¿qué?
Si el doble mapa no es lo que da lugar a la transposición, entonces ¿qué es?
La respuesta es: el adjunto de un mapa (con respecto a la métrica). Y sólo cuando las bases de elegir son ortogonales (con respecto a la métrica).
Supongamos $V$ $W$ están equipados con métricas de $g$$h$. Si tenemos un mapa de $f:V\to W$, entonces su adjoint $f^{\text{Ad}_{gh}}$ es un mapa de $W\to V$
Si tomamos la definición de la propiedad de la adjoint (eqn. $(2)$)
$$g\left(v,f^{\text{Ad}_{gh}}(w)\right) = h(f(v),w)$$
Y a ver qué pasa si usted toma los componentes con respecto a la arbitraria bases en $V$ $W$
$$g_{ij}v^{i}{(f^{\text{Ad}_{gh}})^{j}}_{\nu}w^{\nu} = h_{\mu\nu}{f^{\mu}}_{i}v^{i}w^{\nu}$$
ya que este es interpretado para celebrar cualquier $v\in V$ y cualquier $w\in W$, obtenemos
$$g_{ij}{(f^{\text{Ad}_{gh}})^{j}}_{\nu} = h_{\mu\nu}{f^{\mu}}_{i}$$
multiplicando a ambos lados por el inverso de a $g^{ik}$, y el cambio de nombre de algunos índices, obtenemos
$${(f^{\text{Ad}_{gh}})^{i}}_{\mu} = h_{\mu\nu}{f^{\nu}}_{j}g^{ij}\tag{4}$$
Si ustedes se permiten "bajar el griego índice" con la métrica $h$ y para "elevar la latina índice" con la métrica $g$, obtendrá ${f_{\mu}}^{i}$ en el lado derecho, y usted va a entender por qué algunas personas dicen que
... en el índice de la notación de una matriz a se escribe como $A^\mu_{\;\;\nu}$ y su transposición adjunto como $A_\nu^{\;\;\mu}$
sin embargo, esto oculta el hecho de que hay dos métricas involucradas.
Ahora, si usted toma nuestro resultado
$${(f^{\text{Ad}_{gh}})^{i}}_{\mu} = h_{\mu\nu}{f^{\nu}}_{j}g^{ij}$$
y usted asume que las bases son ortonormales, entonces $h_{\mu\nu} = \delta_{\mu\nu}$$g^{ij} = \delta^{ij}$, lo que nos da
$${(f^{\text{Ad}_{gh}})^{i}}_{\mu} = \delta_{\mu\nu}{f^{\nu}}_{j}\delta^{ij} = {f^{\mu}}_{i}$$
que coincide con la definición de $(3)$ de la transpuesta de una matriz por sus componentes.
Se puede ver, en este caso no necesitamos cambiar la forma en que representamos a nuestros vectores.
Si $[f]$ $n\times m$ matriz que actúa sobre la parte izquierda de cualquier $m\times1$ columna de la matriz $[v]$ (donde $v\in V$) para producir un $n\times1$ columna de la matriz que representa a un elemento de $W$, entonces, para cualquier base, $[f^{\text{Ad}_{gh}}]$ $m\times n$ matriz que actúa sobre la parte izquierda de cualquier $n\times 1$ columna de la matriz $[w]$ (donde $w\in W$) para producir un $m\times 1$ columna de la matriz que representa un elemento de $V$.
Pero sólo si usted elige una base ortonormales, usted tiene la relación
$$[f^{\text{Ad}_{gh}}] = [f]^{\text{T}}$$
Conclusión:
Dicen que representan elementos de $V$ $W$ como vectores columna.
Si usted tiene una matriz que representa un mapa de $f:V\to W$ (que actúa en la parte izquierda de las matrices de $[v]$), la transposición y actuar con ella en las matrices de $[w]$, está implícitamente asumiendo las bases que elegir son ortogonales, y se utiliza el adjunto de a $f$ mapa de$W$$V$.
Realmente espero que esto está claro. Si no, usted puede pedir. Gracias por la lectura.
