¿Cómo se utilizan matrices para representar cantidades, y cual es el significado de una matriz?

Question

Así que me estoy leyendo este texto sobre Mecánica Cuántica, y pasa a través de un par de capítulos que entiendo bastante bien, incluyendo la probabilidad. Pero luego dice que todas las cantidades, como la posición y la energía de un objeto, se representan en una matriz, y que las cantidades que se han asociado distribuciones de probabilidad. Yo de esto, aunque estoy un poco confuso acerca de si estamos hablando de plena m-por-n matrices o simplemente vectores. Si los vectores, sí, estoy familiarizado con eso. Pero si no, ¿cómo se usa un total de m-por-n de la matriz para representar una cantidad?

Y, a continuación, más adelante, se dice que es la media de una matriz, pero no dice lo que es. Es el promedio de todas las coordenadas en la matriz, por lo que es $\displaystyle \frac{1}{mn}\sum_{(i,j)\in \ulcorner m \urcorner \times \ulcorner n \urcorner}a_{ij}$? O son cada una de las columnas para representar a separar las cantidades y, a continuación, supongo que la media es un vector de los medios de las columnas?

La única guía el texto da en este sentido es "Algunas de las reglas básicas de la mecánica cuántica involucrar a simples relaciones entre las cantidades, expresadas en términos de matrices, y las relaciones correspondientes entre los valores de la media. Considerar una cantidad representada por una matriz de $M$. Deje $<M>$ denotar su valor medio. Para cualquier número $z$, la matriz $zM$ representa la cantidad original multiplicado por $z$. Su valor medio es $<zM>=z<M>$." Y así sucesivamente. Pero en ninguna parte se define la media de una matriz, sólo salta en esta notación. Algunas rápida websearching mostró que no parece haber ningún consenso sobre qué se entiende por medio de una matriz que representa una cantidad.

Answer 1

Descargo de responsabilidad en la parte inferior. Estoy suponiendo que estamos trabajando con el infinito (continua la posición). Un par de cosas que te pueden ayudar:

1. En la mecánica cuántica, $\langle \hat{A} \rangle$ es generalmente definida como $\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle=\langle \psi | \hat{A} \psi \rangle$. Si no estás dado de $\psi$ usted no puede encontrar $\langle \hat{A} \rangle$, lo que explicaría su dificultad en la búsqueda de una definición. No se refiere a la media, por lo general, se refiere a la expectativa de valor del operador sobre psi.
2. Con respecto a la posición del operador, la página de la wikipedia dice que es motivado por el hecho de que la esperada x-posición debe ser: $\langle \hat{x} \rangle=\int x |\psi(x)|^2 dx=\int \psi^* x \psi dx=\int \psi^* \hat{x} \psi dx=\langle \psi |\hat{x} |\psi\rangle$ donde $\hat{x}$ es el operador definido en la posición de la representación a los ser $\hat{x} \psi(x)=x \psi(x)$.
3. Creo que hay otras motivaciones para la posición del operador. Una característica que tiene es que si $| X \rangle$ es un autovector de a $\hat{x}$, entonces el producto interior $\langle X | \psi \rangle$ le da el valor de $|\psi\rangle$ en la posición $|X\rangle$. $|X\rangle$ en la posición de la representación en este caso es una función delta, $X(x)=\delta(x-x_0)$, por lo que el $\langle X|\psi \rangle=\psi(x_0)$, lo cual es perfecto porque recoge un fuerte valor de $\psi$ como se desee.

El conceptual rareza y el hecho de que estoy siendo tan inspecific (en términos de $| \psi \rangle$ en lugar de $\psi(x)$) es porque está trabajando en un espacio vectorial (de todos los $\psi$) y puede cambiar a voluntad, y así la posición de la representación realmente no es fundamental (matemáticamente, al menos - no estoy tan seguro de que físicamente).

Así, la versión corta:

1. $\langle \hat{A} \rangle=\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle = \int \psi^*(x) \hat{A}\psi(x)dx $ (el último sólo se mantiene en la posición de la representación)

2. $\hat{x}$ es un operador (en la matriz de lo finito dimensionales caso), sus vectores propios $|X\rangle$ son vectores, y usted puede utilizar el producto interior $\langle X | \psi \rangle$ a recoger el valor de la función de onda en la posición $|X\rangle$.

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Descargo de responsabilidad: yo aún estoy muy, muy, muy precarios en QM, así que por favor me corrija si estoy equivocado.