Probar que divide a que $n-1$ $n!\left(1+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\right)$

Question

Demostrar que $n-1$ divide $n!\left(1+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\right)$.

Hay una secuencia: $a_1=1$, $a_{n}=n\cdot a_{n-1}+(-1)^n$. La pregunta es para probar que $n-1$ divide $a_n$.

Mi acercamiento fue el aviso de la fórmula general para $a_n$, a saber:

$$ a_n=n!\left(1+\sum_{k=2}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\right) $$

(esto es trivial comprobar con sólo conectarlo a la relación recursiva). Ahora, ¿cómo debo mostrar que $n-1$ divide $$n!\left(1+\sum_{k=2}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\right)\ ?$$

Al principio, pensé que era trivial, entonces me di cuenta de que el término en paréntesis no es un número entero. Mi pregunta es entonces:

• cómo probar la afirmación de que $n-1$ divide $a_n$ utilizando la fórmula general,

y luego:

• tal vez esto sólo puede lograrse mediante la recurrencia de la relación?

Answer 1

Utilizar las fórmulas para la enajenación:

$$!n = (n - 1) \left[!(n-1) + !(n-2)\right]$$

y

$$!n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}$$

Tenemos:

$$\begin{align}n!\left(1+\sum\limits{k=2}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\right) &= n!\left(1+\sum\limits{k=\color{red}{0}}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\right)\ &= n!+!n\ &= n(n-1)(n-2)!+(n - 1) \left[!(n-1) + !(n-2)\right]\ &= \color{blue}{(n-1)}\left[n(n-2)!+!(n-1) + !(n-2)\right]\end {Alinee el} $$

Answer 2

De la repetición que tenemos $$an = n(n-1)a{n-2} + (n-1)(-1)^{n-1}. $$ Hence by induction $a_n$ is divisble by $n-1$ for all $n\in\mathbb{N}$ (Nota Esto es válido para los primeros pocos casos).