Demostrar que $n-1$ divide $n!\left(1+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\right)$.
Hay una secuencia: $a_1=1$, $a_{n}=n\cdot a_{n-1}+(-1)^n$. La pregunta es para probar que $n-1$ divide $a_n$.
Mi acercamiento fue el aviso de la fórmula general para $a_n$, a saber:
$$ a_n=n!\left(1+\sum_{k=2}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\right) $$
(esto es trivial comprobar con sólo conectarlo a la relación recursiva). Ahora, ¿cómo debo mostrar que $n-1$ divide $$n!\left(1+\sum_{k=2}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\right)\ ?$$
Al principio, pensé que era trivial, entonces me di cuenta de que el término en paréntesis no es un número entero. Mi pregunta es entonces:
- cómo probar la afirmación de que $n-1$ divide $a_n$ utilizando la fórmula general,
y luego:
- tal vez esto sólo puede lograrse mediante la recurrencia de la relación?