Estoy tratando de mostrar que $S^1 \times \left\{\pm 1 \right\}$ , donde $S^1$ es el conjunto de números complejos con valor absoluto $1$ no es isomorfo a $O(2)$ el conjunto de $2 \times 2$ matrices ortogonales bajo la multiplicación de matrices.
Anteriormente en la misma pregunta mostré que $S^1$ es isomorfo a $SO(2)$ el conjunto de $2 \times 2$ matrices con determinante $1$ bajo la multiplicación de matrices, lo digo porque creo que es relevante para demostrar que esto no es isomorfo.
No veo cómo es posible encontrar un mapa de $S^1 \times \left\{\pm 1 \right\}$ a $O(2)$ desde $S^1 \times \left\{\pm 1 \right\}$ será de la forma $(z, \pm 1)$ , donde $z \in \mathbb{C}$ por lo que si bien es posible poner $z$ solo en un $2 \times 2$ matriz, no veo cómo se puede hacer para $(z, \pm 1)$ pero no sé cómo plantear esto matemáticamente.
Gracias, ¡se agradece cualquier ayuda!
