¿Qué significa una función de comportamiento razonable en el contexto de las matemáticas?

Question

Estaba leyendo en las redes informáticas, y vi una expresión que nunca había visto antes al hablar de las transformaciones de Fourier: " función de comportamiento razonable ."

¿Qué significa esto de una función? No he podido encontrar una explicación en Internet. ¿Es una expresión de uso común?

EDIT: La pregunta real utilizada en el libro:

A principios del siglo XIX, el matemático francés Jean-Baptiste Fourier demostró que cualquier función periódica de comportamiento razonable, $g(t)$ con el período $T$ puede construirse como la suma de un número (posiblemente infinito) de senos y cosenos.

Answer 1

Como regla general, yo diría que cuando un informático o un físico dice "función de buen comportamiento" quiere decir precisamente esto: "Cualquier función para la que el teorema matemático que voy a citar sea cierto, sólo que no recuerdo exactamente qué funciones son éstas".

Las disciplinas que utilizan las matemáticas, como la informática y la física, dependen en gran medida -por supuesto- de las matemáticas, pero sus presentaciones suelen pasar por alto los detalles técnicos que hacen que las matemáticas sean precisas. Esto es especialmente omnipresente en la teoría de las transformadas de Fourier, donde muchos teoremas tienen que formularse cuidadosamente en términos de las funciones implicadas. Así, escuché a un profesor del MIT, en una conferencia sobre mecánica cuántica, decir que la transformada de Fourier es invertible para cualquier función, y luego -casi disculpándose- añadió que los matemáticos son más cuidadosos al formular el teorema.

Answer 2

No se trata de un término bien definido, aunque es un término común. La frase "función de comportamiento razonable", o sus muchas variantes, puede significar cualquier cosa. A veces significa continua o alguna condición similar.

A menudo, en matemáticas, pero sobre todo en aplicaciones de las matemáticas como la física, esperamos o sabemos que algo es cierto, pero las condiciones precisas en las que lo es son complejas, sin importancia o sin interés. Esta es una de las razones por las que existe esta terminología. Por supuesto, si escribo " $P$ es verdadera para cualquier función de comportamiento razonable", entonces deberían existir condiciones precisas que una función debe cumplir para $P$ que sea cierto.

Por ejemplo, hay muchas cosas raras que pueden ocurrir en los espacios topológicos generales que no ocurren en los espacios razonablemente bien manejados. No está claro qué significa exactamente esto. Que un espacio sea Hausdorff puede ser una condición necesaria y suficiente para que no ocurra alguna cosa rara, por ejemplo. A veces la condición exacta estará clara para el lector. A veces el autor simplemente es un poco perezoso, pero lo más frecuente es que los detalles distraigan o sean innecesarios; pueden confundir al lector poniendo en duda sus intuiciones, lo que no siempre es ideal para la comprensión, aunque abordar los tecnicismos sea finalmente una buena idea. Para un ejemplo más concreto, observe que $a+b=b+a$ sólo para sistemas algebraicos de comportamiento razonable, como los grupos abelianos. (Los grupos $S_n$ sólo son abelianos para $n \leq 2$ .)

Lo opuesto a un objeto de buen comportamiento es un objeto patológico . Las patologías son cosas realmente desagradables o extrañas, como una función continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna o el conjunto de Cantor. Mirando la página de Wikipedia para Patológico (Matemáticas) puede darle una mejor idea de lo que significa esta terminología. Te ruego que mires los ejemplos para orientarte.

En cuanto a la cita en cuestión, el autor se refiere a Serie de Fourier . Para tener una construcción exacta, basta con la diferenciabilidad, aunque no es la condición más débil para la que la construcción es exacta ( es decir, la serie de Fourier converge en todas partes). Además, a menudo la convergencia casi en todas partes (en el sentido técnico) está bien, o uno puede querer algo más que la convergencia puntual ( Por ejemplo, convergencia uniforme), y en estos casos podemos requerir algo más fuerte o más débil que la diferenciabilidad.

Answer 3

Depende del contexto de la frase. Puede significar, por ejemplo, que la función es suave. En general, significa que la función no es patológica en ningún sentido, por lo que no es, por ejemplo, un caso especial con algún comportamiento impar.