Versión fuerte del lema de Caratheodory

Question

Dejemos que $X = \{ x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \}$ sea un número cualquiera de $n$ -conjunto de elementos $X \subset \mathbb{R}^{n-1}$ y que $X' = \text{conv}{X}$ sea el casco convexo de $X$ .

El teorema de Caratheodory afirma que si un punto $x$ se encuentra en el casco convexo de un conjunto $P \subset \mathbb{R}^{d}$ entonces se puede escribir como la combinación convexa de a lo sumo $d+1$ puntos de $P$ .

Me gustaría demostrar una especie de resultado "más fuerte", a saber, que $x$ se encuentran en el casco convexo de un conjunto $S \subset \mathbb{R}^{n-1}$ , donde $|S| > n$ . Cómo demostrar que existen al menos dos subconjuntos $S_{1}, S_{2}$ tal que $|S_{1}| = |S_{2}| = n$ y $x \in \text{conv}(S_{1}), x \in \text{conv}(S_{2})$ ?

(por ejemplo, si $n=2$ , dejemos que $S = \{ a, b, c \} \subset \mathbb{R}$ y claramente si $x \in \text{conv}(S)$ entonces $x$ está contenido en al menos dos intervalos con puntos finales $a, b, c$ )

¿Existen posibilidades de encontrar algunas aplicaciones complicadas de los teoremas de Radon/Helly?

Answer 1

Esto es un subproducto de la demostración del teorema, así que vamos a verlo. Empezamos con $x = \sum_{j\in J} c_j p_j$ donde $c_j>0$ , $\sum_{j\in J} c_j = 1$ y el conjunto de índices $J$ tiene $|J|>n$ . Consideremos los vectores $v_j = p_j + e_n\in\mathbb{R}^n$ donde $e_n$ es el $n$ vectores de base estándar. Como son linealmente dependientes, existen coeficientes $b_j$ , no todo cero, tal que $\sum_{j\in J} b_j v_j=0$ . Esto significa que $$ \sum_{j\in J} b_j p_j = 0\quad \text{and}\quad \sum_{j\in J} b_j = 0 $$ A continuación, consideramos los coeficientes $c_j(t) = c_j + t b_j$ donde $t\in\mathbb R$ . Por construcción, $\sum_{j\in J} c_j(t) = 1$ y $\sum_{j\in J} c_j(t)p_j = x$ para todos $t$ . La función $$ m(t) = \min_{j\in J} c_j(t) $$ es continua con respecto a $t$ y positivo en $0$ . En cambio, es negativo cuando $|t|$ es suficientemente grande, porque entre los números $b_j$ hay tanto positivos como negativos. Por lo tanto, existen $t_1<0$ y $t_2>0$ tal que $m(t_1)=0$ y $m(t_2)=0$ . Así, los conjuntos $S_1 = \{p_j: c_j(t_1) > 0\}$ y $S_2 = \{p_j: c_j(t_2) > 0\}$ tienen una cardinalidad inferior a $|J|$ y $x$ está contenida en el casco convexo de cualquiera de ellas.

Estos dos conjuntos no son iguales, porque es imposible tener $c_j(t_1)=0=c_j(t_2)$ en vista de $c_j(t)$ siendo lineal, con $c_j(0)>0$ .