El espacio$C(\Omega,\mathbb{R})$ tiene un Predual?

Question

Deje $\Omega$ ser un espacio métrico compacto y $C(\Omega,\mathbb{R})$ el espacio de borel real continua con valores de funciones. Me gustaría saber si hay alguna real espacio de Banach $V$ de manera tal que su espacio dual (topológico)es exactamente $C(\Omega,\mathbb{R})$.

Mi principal interés es al $\Omega$ es un infinito producto cartesiano como por ejemplo, $\Omega=E^{\mathbb{Z}^d}$ donde $E$ es un espacio métrico compacto. Si la respuesta para este caso también es negativo, estamos en una mejor situación si $E$ es un conjunto finito ?

Gracias por cualquier comentario o referencia.

Edición. Eliminar lo superfluo hipótesis señalado por Felipe.

Answer 1

En primer lugar, permítanme señalar que todo espacio métrico compacto es automáticamente separables.

En segundo lugar, tenga en cuenta que $c_0$ no incrustar en cualquier separables doble espacio, por lo tanto tampoco cualquier espacio de Banach que contiene un subespacio isomorfo a $c_0$. Dado que todos los $C(K)$ espacio ($K$ compacto de Hausdorff) contiene un subespacio isomorfo a $c_0$, no $C(K)$ espacio incrusta isomorphically en un separables del espacio dual. En particular, desde la metrizability de $K$ es equivalente a $C(K)$ norma separables, la respuesta a tu pregunta es siempre no.

Para una referencia para todos los reclamos, buscar $C(K)$ $c_0$ en el índice de Albiac y Kalton el libro de Temas en el Espacio de Banach de la Teoría.

Answer 2

El resultado es falso en general. Por ejemplo, considere$\Omega=\{\frac 1 n: n\in \mathbb N\}\cup \{0\}$, luego$C(\Omega,\mathbb R)=c_0$ que no es un espacio dual. Edición: estoy agregando algunas referencias: mi reclamo se deriva de la Proposición 4.4.1 del libro de Albion y Kalton.